Исследование особого ряда и особого интеграла одной многомерной аддитивной задачи

• Автор: Крахт, Борис Вячеславович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 58 с.

ГЛАВА I. ОСОБЫЙ РЯД АДДИТИВНОЙ ЗАДАЧИ С ПОЛНОЙ СОВОКУПНОСТЬЮ ПРОСТЕЙШИХ ФОРМ ЗАДАННОЙ СТЕПЕННЫ
§1 .Предварительная оцгнка показателя сходимости особого ряда 1
§2. Преобразование полной рациональной тригономрл рической
СУММЫ
§3. Леммы о полиномиальных сравнениях по модулю равному степени простого ЧИСЛА
§4. Арифметическая природа особого ряда
§5. 1 ЕОРЕМА О СХОДИМОСТИ ОСОБО! О РЯДА
§6. Оценка снизу показа I ел я сходимости особого ряда
ГЛАВА II. ОСОБЫЙ РЯД АДДИТИВНОЙ ЗАДАЧИ С НЕПОЛНОЙ СОВОКУПНОСТЬЮ ПРОСТЕЙШИХ ФОРМ ЗАДАННОЙ СТЕПЕНИ38
§1. Полные рациональные тригонометрические суммы с выщербленной
ФОРМОЙ
§2. 01ЩНКА СНИЗУ ПОКАЗА [ ЕЛЯ СХОДИМОСТИ ОСОБОГО РЯДА
ГЛАВА III. ОСОБЫЙ ИНТЕГРАЛ ОДНОЙ МНОГОМЕРНОЙ АДДИТИВНОЙ ЗАДАЧИ
ГЛАВА IV. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ЧИСЛА РЕШЕНИЙ ОДНОЙ МНОГОМЕРНОЙ АДДИТИВНОЙ ЗАДАЧИ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Настоящая диссертация посвящена нахождению показателя сходимости особою ряда и особого интеграла в многомерном обобщении проблемы Герри.
Метод тригонометрических сумм был разработан И.М. Виноградовым [36] - [38]. В основе его метода лежат оценки моментов сумм Г. Вейля. И.М. Виноградов поставил проблему оценки сверху кратных тригонометрических сумм [30], [31]. Данная задача была решена Г.И. Архиповым в начале 70-х годов прошлого века. Г.И. Архипов получил первые оценки двукрашых сумм Г. Вейля для многочленов общего вида. В 1975 г. Г.И. Архипов и В.И. Чубариков [5], [6] дали обобщение результатов Г.И. Архипова на кратный случай (см. также [1] - [28], [60] - [67]).
К.К. Марджинишвили [52] и Хуа Ло-Кен [56] дали применение метда тригонометрических сумм к аддитивным задачам теории чисел. Эго привело к новым постановкам задач, связанным с показателями сходимости особого ряда и особого интеграла рассматриваемых аддитивных проблем.
В 1976 г. В.Н. Чубариков [60], [61] получил оценки кратных тригонометрических интегралов и кратных полных рациональных тригономефических сумм. Итоги данных исследований были подведены в диссертации В.Н. Чубарикова [62].
13 1978 г. Г.И. Архипов, A.A. Карацуба, В.Н. Чубариков [12], [13] решили проблему Хуа JIo-Кена о ючном значении показателя сходимости особою ряда и особого интеграла проблемы Герри. Итоги данных исследований по кратным тригонометрическим суммам были подведены в 1980 г. в монотрафии [27].
В 1952 г. Хуа Ло-Кен [69] нашел точное значение показателя сходимости особого ряда в проблеме Терри для полной системы уравнений. В 1981 г. В.Н. Чубариков [64] нашел точное значение этою показателя для неполной системы уравнений.

В течение 80-х голов прошло! о столетия Г.И. Архипов, A.A. Карацуба, и В.Н. Чубариков [15], [16] продолжили исследования и получили первые оценки кратных тригонометрических сумм Г. Вейля, равномерные по всем параметрам (по длинам интервалов изменения переменных суммирования, по степени осреднения и по степени многочлена).
В 1987 г. результаш всех исследований по кратным тригонометрическим суммам Г. Вейля составили содержание монографии [28]. В середине 80-х годов прошлою века В.Н. Чубариков получил первые оценки кратных тригономегрических сумм с простыми числами с многочленом общего вида в экспоненте [65], [66].
Исследования кратных грш онометрических интегралов были продолжены И.Ш. Джаббаровым [41], И.А. Икромовым [42], М.А. Чахкиевым [59] и др. Они получили оценки показателя сходимости особых интегралов для некоторых многомерных аддижвных задач.
Основу настоящей диссертации составляют оценки сверху и снизу показаюлей сходимости особых рядов и особых интегралов в многомерной аддишвной задаче с полной и неполной совокупностью проаейших форм от двух переменных.
Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации.
В главе I получены оценки сверху и снизу для показа юля сходимости особого ряда в аддитивной задаче с полным набором простейших форм от двух переменных. Параграф 1 этой главы посвящен обзору предварительной оценки показателя сходимосш особого ряда, полученный из оценки общей рациональной тригономефической суммы [60]. Результат сформулирован в виде следующей теоремы:

Теорема I. Особый ряд
сходится при
2к > w(/7 + 2).

+00 +О0 І
6>0= |... і ^е2л,^х'у^сіхсіу
-со -оо 0
2 к
сіа0сІаг..сІап,
/(х,у) = а0хп + ауспАу +... + ап_ххупА + апуп;
ос- <7о-І ?Л-І
-.=1 І 1-Е
2->[%. . (во,?о)=1 (о„ ,
4^0 С1п У

=5>(Є).

О "/і
ч^/о Яп
2
=ІІ>
*=1 ><=!
2л//г(х,у)
5=0 <7*
В предыдущих главах установлены показа1ели сходимосш для особого ряда и особою инютрала для соответствующей системы уравнений соответствующих мноючленов.
Имеем сходимость особою ряда сг0 при показаюле
4к > п(п + 3) + 6,
расходимость особого ряда имеет место при
Ак<п2 + 2.
Для особого интеграла в0 для данной задачи, показаюль сходимосш определяется следующим неравенством:
2к > п(п + ) + 2.
При рассмотрении неполной системы из Я уравнений от
Л П1 И— м г II г с__>1_с
х, у) = атх у + агх у +... + а$х у
степени п вида