Стохастические задачи оптимальной остановки для процессов Леви

• Автор: Синельников-Мурылев, Сергей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 74 с.

Содержание
Введение
Общая характеристика работы
Глава 1. Случай броуновского движения со сносом
1.1. Обзор известных результатов для броуновского движения и
броуновского движения со сносом
1.2. Постановка задач об оптимальной остановке
1.3. Условно-экстремальный критерий для момента максимума
1.4. Условно-экстремальный критерий для момента последнего нуля
1.5. Абсолютный критерий
Глава 2. Обобщение теоремы Леви о совпадении пар процессов по распределению
2.1. Введение
2.2. Основной результат
2.3. Процессы Леви с отражением в нуле
Глава 3. Случай процесса Леви
3.1. Постановка задач об оптимальной остановке для момента максимума
3.2. Общий вид решения
3.3. Схема решения задач при помощи задачи Стефана
3.4. Пример: комбинация броуновского движения со сносом и пуас-
соновского процесса
3.5. Схема решения задач методом Монте-Карло
3.6. О задаче, связанной с моментом последнего нуля

Литература
Приложение
Введение
В стохастическом анализе широко известна так называемая «задача о разборчивой невесте» (известная также под рядом других названий, в частности, задача о выборе наилучшего объекта, см. [19]). Эта задача в различных постановках рассматривалась значительным числом авторов, в т. ч. в работах [4, 5, 7, 12, 13, 31, 32, 44, 45, 48, 49, 52].
Сформулируем задачу, следуя [19, гл.2, §3]. Имеется п объектов, занумерованных числами 1
Оптимальной стратегией в этой задаче оказывается следующая. Надо просмотреть и пропустить первые т* — 1 объектов, а затем продолжать осмотр до момента т*. когда впервые появится объект, лучший, чем все предыдущие. При большом п, 7п* ре п/е, а искомая вероятность приблизительно равна 1/е ~ 0.368. Этот результат интуитивно удивителен, потому что, казалось бы, искомая вероятность должна стремиться к нулю с ростом количества объектов.
Несмотря на то, что такие оптимизационные задачи в дискретном времени являются достаточно хорошо изученными, случай непрерывного времени начал исследоваться совсем недавно. Отличительной чертой подобных задач является то, что для принятия оптимального решения требуется хорошо оце-
сом, т. к. решение уравнения (2.8) является строго марковским.
Мы будем проводить доказательство, следуя методологии, описанной в работе [18] (см. также [21]). Применим к процессу Zt формулу Танака:

8§п Zs-dZs + {%в |Дз-| — sgnZs-AZs} + (2-9)
где — локальное время процесса Zt в нуле. В уравнении (2.9) второй член отвечает за компенсацию тех скачков процесса Zt, при которых процесс пересекает ноль. Поскольку в процессе Zt таких скачков нет, то этот член равен нулю. Подставляя из уравнения (2.5) в уравнение (2.9), и обозначая

г8~(ИЗя + Е АЛТ3
получаем
11 = -Ъ+'52 + А¥3) 0}|Д,- - sgn гз-АЩ + и. (2.10)
К последнему уравнению можно применить «расширенную» лемму Скорохода для сас11 функций. В самом деле, обозначим за /?4 сумму последних двух слагаемых выражения (2.10). Тогда
1. процессы Zt-, —Р* и Я( являются процессами с сасЛад траекториями;
2. Щ > 0;
3. 7?г есть возрастающая функция, т. к. 0}|—зцп ДЛу|
является суммой неотрицательных величин, т. е. возрастающей по t функцией, и Ьг есть возрастающая функция (как локальное время семимар-тингала Zt в нуле);
4. 1{гго}с1Щ) = о.