Существование и единственность решений стохастических интегральных уравнений Ито-Вольтерра

• Автор: Федоренко, Игорь Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Краснодар
• Количество страниц: 101 c. : ил

§ 0.1 Постановка задачи, состояние исследуемых вопросов в литературе, краткое содержание результатов диссертации. . .3 § 0.2 Основные обозначения, определения, вспомогательные
утверждения
ГЛАВА 1. СУЩЕСТВОВАНИЕ, ЕДИНСТВЕННОСТЬ й НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ПАРАМЕТРА РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ТО-ВОЛЬ ТЕРРА; -ТЕОШЯ
§ 1.1 Существование и единственность решения
§ 1.2 Существование и единственность локального решения
§ 1.3 Продолжимость локального решения
§ 1.4 Непрерывная зависимость решений от параметра
§ 1.5 Существование слабого решения
ГЛАВА 2. СУЩЕСТВОВАНИЕ, ЕДИНСТВЕННОСТЬ И НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ПАРАМЕТРА РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИТО-ВОЛЬТЕРРА; £ -ТЕОРИЯ
§ 2.1 Решения с суммируемым вторым моментом
§ 2.2 Существование и единственность стохастически
непрерывного решения
§ 2.3 Решения с п.н. непрерывными траекториями
§ 2.4 Непрерывная зависимость решения от параметра
ГЛАВА 3. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 3.1 Существование и единственность решения
§ 3.2 Многомерная теорема сравнения
§ 3.3 Уравнения с непрерывным сносом
§ 3.4 Непрерывная зависимость решений стохастических дифференциальных уравнений с единичной диффузией от начальных условий
§ 3.5 Уравнения с одновременным вырождением ядер
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

§ 0.1 Постановка задачи, состояние исследуемых вопросов в литературе, краткое содержание результатов диссертации.
Стохастические интегральные уравнения Ито-Вольтерра вида
являются естественным обобщением стохастических дифференциальных уравнений типа К.Ито. Уравнения вида (ОД) также появляются при исследовании различных вопросов теории стохастических дифференциальных уравнений. Широкий класс стохастических дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и стохастических интегро-дифференциальных уравнений может быть сведен к стохастическим интегральным уравнениям Ито-Вольтерра, это сведение аналогично соответствующему сведению в теории детерминированных уравнений.
С другой стороны, в последнее время появился ряд статей прикладного характера [1,7,40,43,46,54,58-60,683? в которых при построении математических моделей физических, технических, биологических и других явлений приходится пользоваться уравнениями вида (0.1). Таким образом, возникла необходимость построения общей теории таких уравнении. Хотелось, чтобы,по аналогии с детерминированной ситуацией, такая теория включала в себя (в соответствующих пределах) теорию стохастических дифференциальных уравнений типа К.Ито. Конечно, теория стохастических дифференциальных уравнений типа К.Ито заведомо окажется богаче теории стохастических интегральных уравнений Ито-Вольтерра, т.к. содержит результаты, специфические для дифференциальных уравнений. Например, в теории уравнений вида (0.1) нельзя пользоваться методами, основанными на независимости

приращений решения, существенно ограничены возможности аналитических методов.
В теории стохастических дифференциальных уравнений наиболее глубоко разработаны вопросы существования и единственности решений (см.,напр., £2-4,6,10,11,19,81,24,25,41,45,52,56,57,63-651), в теории стохастических интегральных уравнений Ито-Вольтерра основными следует считать те же вопросы.
В первых работах по теории стохастических интегральных уравнений [40,48,58-60,62,633 ядро нулевое. Решения здесь
рассматриваются как непрерывные функции со значениями в различйкх банаховых пространствах случайных величин, ядро АсА,ъ,х) - как отображение при фиксированных Л? и в в соответствующем пространстве случайных величин. Основные методы исследования здесь - теоремы о неподвижных точках, основное условие существования и единственности решения - условие Липшица на отображение .
Результаты в этом направлении подытожены в [441.
Позднее Ма'пои.^алу А.у.у, С.. Р.
в £541 и £.611, М. в £53 3 аналогичными методами исследовали общее уравнение (0.1).
V<£>,£451, У.Н. £463, Ю.Л.Далецкий
рассматривали некоторые частные уравнения вида (0.1) в гильбертовом пространстве, они получались в результате преобразования стохастических дифференциальных уравнений с локально Липшицевыми по фазовой переменной ядрами вне точек их одновременного обращения в нуль. Как показывает пример И.В.Гирсанова £31, такие уравнения могут иметь неединственное решение, факт существования решения таких уравнений следует из теоремы §3.5 диссертации.
А.Ю.Шевляков £391,~1Аго ~£, [491 исследовали вопросы существования и единственности решения линейного стохастического интеграль-

Последовательность ^2(со)} п.н. монотонно неубывающая, далее,
С)^; ,'Зг^^)^- V 0 при .* Пусть ^(Чо)
предел Си))) в 2>(А1) , ^ С*А) <=-о п.н. при любом п. .
П *>
Кроме того, <оО^д<Ап ) éÇ £со: ^>х 'i VО ПРИ
О п
X-4oo , т.е., последовательность сходится к
2 С .со) в $(П) . Выделим из нее сходящуюся п.н. подпооледова-

тельность u lVVcU( » она п.н; удовлетворяет условиям О °V
леммы Фату T.I2], поэтому Q '• ^

Обоснуем возможность предельного перехода в уравнении (2.5) при ^ * Из предыдущих рассуждений следует,
Ч п.н; при -с и любсм yw 1 .’Далее,
W . -ъ Vi
~Ь i;
у 04} As,, ^ A(.V,S., у Аь)й
6 - о
4r V

* -ь

при YW о=> . Аналогично, при vi->c^
•V -w
J С | в, ^а<Ц. , ) 6<л>^ > Vc'ws)°