Топология интегрируемого случая Стеклова на алгебре Ли so(4)

• Автор: Хоршиди Хоссейн
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 63 с. : ил.

1 Основные определения и постановка задачи
1.1 Уравнения Эйлера на алгебре Ли
1.2 Интегрируемый случай Стеклова на алгебре Ли 5о(4)
1.3 Отображение момента
1.4 Изоэнергетические поверхности
2 Бифуркационные диаграммы отображения момента
3 Перестройки торов Лиувилля
3.1 Прообразы точек бифуркационной диаграммы
3.2 Индексы критических окружностей
3.3 Инварианты Фоменко для случая Стеклова на во(4)
4 Топологический тип изоэнергетических поверхностей
4.1 Топологический тип поверхности <33
4.2 Грубая топологическая классификация изоэнергетических поверхностей
Литература

Актуальность темы. Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки занимает исключительное место в динамике. В этой области работали такие выдающиеся ученые, как Л.Эйлер, Ж.Лагранж, С.Пуассон, Ж.Лиувилль, К.Якоби, Г.Дарбу и многие другие. Важные результаты в этой области были получены русскими учеными С.В.Ковалевской, Н.Е.Жуковским, С.А.Чаплыгиным, В.А.Стекловым, А.М. Ляпуновым и др.
Основные их достижения относятся к концу 19-го и началу 20-го века. В настоящее время по-прежнему не ослабевает интерес к этой задаче, так как разработаны современные методы для явного интегрирования уравнений и их топологического анализа (см. [1], [5], [15], [16], [20], [22]).
Задача о движении твердого тела привлекала внимание крупнейших математиков. Дело в том, что движение тела описывается системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, называемых уранениями Эйлера-Пуассона, для которой известны только три общих интеграла. Кроме того, Якоби доказана теорема, которая показывает, что для сведения задачи к квадратурам достаточно найти еще один новый первый интеграл, не зависящий от времени. На поиск этого дополнительного интеграла потрачено немало сил. В некоторых специальных случаях удалось найти дополнительный интеграл. Следует отметить, что для произвольных значений параметров дополнительного интеграла не существует, но до сих пор поиск интегрируемых случаев продолжается.
Наглядное представление о движении твердого тела с помощью решений уравнений Эйлера-Пуассона оказалось трудным, так как эти решения обычно выражаются досто-точно сложно. Поэтому большое значение имеет качественное исследование задачи о движении твердого тела.
Одним из основных результатов в этом направлении является теорема Лиувилля, согласно которой неособая компактная совместная поверхность уровня первых интегралов вполне интегрируемой гамильтоновой системы есть объединение торов, заполненных условно-периодическими траекториями. Аппарат дифференциальной топологии оказался очень полезным для качественного исследования этой задачи. Один из результатов в этом направлении принадлежит С.Смейлу [20], в этой работе с топологической точки зрения изучена проблема трех тел и разработаны топологические методы

для исследования классических механических систем. Идеи Смейла развиты другими авторами, в том числе М.П.Харламовым [30] и Я.В.Татариновым. Я.В.Татариновым исследованы бифуркации двух первых интегралов (интеграла площадей и интеграла энергии [22]) в задаче о движении твердого тела.
В настоящее время топологический анализ интегрируемых гамильтоновых систем плодотворно развивается благодаря работам А.Т.Фомснко. В работе [25] была построена теория типа Морса для интегрируемых гамильтоновых систем, и полностью исследован вопрос о том, как перестраиваются торы Лиувилля в окрестности критических поверхностей уровня первых интегралов вполне интегрируемой системы. А.Т.Фоменко и Х.Цишангом [27] построен инвариант интегрируемого боттовского нерезоиансного гамильтониана и дана топологическая классификация изоэнергетических поверхностей интегрируемых гамильтоновых систем.
Классическими примерами интегрируемых гамильтоновых систем являются хорошо известные случаи интегрируемости в динамике твердого тела и других задачах физики и механики. Большинство из этих случаев интегрируемости исследовались с различных точек зрения многими авторами. В частности, топология таких систем изучалась методами теории топологической классификации, развитой в работах Фоменко и его учеников [1]. Так, в работах [15], [16] эта теория была применена для топологического исследования случаев Эйлера, Лагранжа, Ковалевской, Клебша, Стеклова, и некоторых других классических случаев интегрируемости уравнений Кирхгофа. (См. также работы [2], [3], [4], [10], [12], [13], [14], [17], [18], [19], [23], [28], [29], [30], в которых исследуется топология различных интегрируемых случаев).
Как хорошо известно, уравнения Кирхгофа, описывающие различные задачи физики и механики (в том числе движение твердого тела), могут быть представлены в виде уравнений Эйлера на алгебре Ли е(3) группы изометрий трехмерного евклидова пространства.
Различные обобщения классических случаев интегрируемости уравнений Эйлера для других алгебр Ли, в частности для алгебр Ли йо(4), ао(3,1) также хорошо известны. Дело в том, что имеется естественное однопараметрическое семейство таких алгебр, содержащее и алгебру Ли е(3). Поэтому большинство классических случаев интегрируемости получаются как предельный случай этих обобщений.
В настоящей диссертационной работе исследованы топологические свойства одного из случаев интегрируемости, а именно, интегрируемого случая уравнений Эйлера на

Теперь чтобы найти в плоскости К2(т. Ь') область, отвечающую условию а2 < хг( < а?, нам осталось рассмотреть пересечение В+ Г) 11г1, где а2 < а2. Имеем
(Л' = а? 4- 2а,а;Т „ 0 , „
л =?- 2а?т - 2а,а,т + а2 - а^
Л' = а? + 2а2 т2 Дискриминант этого уравнения будет
^ = а]а - 2а,2 (а2 - а2) = а?(2а2 - а2)
Поэтому пересечение В* П IIй непустое, если и только если а2 > ^- (напомним, что а2 < а2). Точки пересечения, если они существуют, получаются формулой
сцсц ± а,^2а2 — а2 а; ± у^2а| —а?
Т 2а,2 2а,
Видно, что т+ < ^ . Действительно, а* + л/2 а? — а, „.
^ < — ■*=> (2а.,- - а*)2 < 2а? - а2 <£=>• 2(а_,- - а*)2 > 0.
2а; а;
Таким образом, точки пересечений, рассмотренные выше, имеют между собой следующие отношения
т+(В+ П с/41) < ^ = г+(5+ п иа) = т+(и, П иа) < = т(5+ п 5+) <
<&=т(й+ПВД.