Топологические пространства монотонных функций

• Автор: Охезин, Дмитрий Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 60 с.

1 Функционально ш-отделимые и т-вырожденные пространства
1.1 Сужение монотонных функций
1.2 Продолжение монотонных функций
1.3 Критерии в классе обобщённо локально дугообразно связных пространств
1.4 Критерии в классе метрических компактов
2 Линейные и топологические свойства СМ(Х) как подпространства
С{Х)
2.1 Линейная структура СМ(Х)
2.2 Расположение СМ(Х) в СР(Х) и С(Х)
3 Метризуемость и о-компактность СМР(Х)
3.1 Метризуемость СМр(Х)
3.2 Пространства Гуревича, локальная компактность и ст-счётная компактность СМР(Х)
Литература

Для вещественнозначной функции вещественного аргумента условие монотонности (т.е. невозрастания или неубывания относительно порядка) эквивалентно тому, что прообраз всякого связного подмножества связен. Это позволяет определить монотонность в топологических терминах. Впервые класс монотонных отображений был введён Уайберном в (31) (см. также [32], [33]). Различные обобщения монотонности и свойства монотонных отображений изучались в работах Я. Харатоника, В. Харатоника ([16],[17],(18],|19]). В теории размерности Р. Бинг и Л.В. Келдыш получили важные результаты о повышении размерности монотонными и открытыми монотонными отображениями ([30],[7],[8]). В теоретико-множественном анализе активно исследуются отображения Дарбу, т.е. отображения для которых образ связного множества связен ([20].[21],[23]). Много применений монотонные отображения нашли и в теории континуумов ([25]). В работе Дийкстра и ван Милла [22] рассматривался вопрос о продолжении монотонных отображений на компактификацни.
Основным объектом исследования в данной работе является пространство всех монотонных непрерывных функций СМ(Х) над связным тихоновским пространством X. Естественно рассматривать СМ(Х) как подпространство пространства СР(Х) непрерывных функций на X с топологией поточечной сходимости, обозначаемое как СМр(Х), и как подпространство пространства С(Х) непрерывных функций с топологией равномерной сходимости, обозначаемое как СМ(Х). Изучению топологических и алгебраических свойств СР(Х) и С(Х) посвящено большое число исследований как в России, так и за рубежом (см. монографию [3]).
В теоретических исследованиях пространств функций одной из важнейших задач является нахождение связей между топологическими свойствами пространства X и линейными и топологическими свойствами пространств функций над X. На топологическом семинаре профессора Н.В. Величко в ИММ УрО РАН были сформулированы следующие группы вопросов.
1. Насколько может быть ’’большим” или ’’малым” пространство СМ(Х)? В этой связи появилось определение функционально т-отделимого пространства, т.е. пространства, у которого СМ(Х) разделяет точки, и функционально т-вырожденного пространства, т.е. пространства у которого СМ(Х) состоит только из констант.
2. Какова линейная структура СМ(Х)? Что представляют из себя линейные подпространства СМ[Х)?
3. Как расположено СМ(Х) в пространствах СР(Х) и С(Х)? В каком случае оно замкнуто в СР(Х) и С(Х), в каком случае нигде не плотно?
4. Какова связь между топологическими свойствами пространства X и пространства СМР(Х)?
Первый параграф первой главы посвящен техническим аспектам сужения монотонных функций на подпространства. Выделены классы пространств, обладающих тем свойством, что сужения монотонных функций являются монотонными (теорема 1.1.4). Приведены примеры функций на I2, не обладающих указанным свойством (1.1.5, 1.1.6). Во втором параграфе приведены результаты о существовании монотонных продолжений функций с подпространств. Устанавливается общий результат для класса пространств, содержащего все дендриты (следствие 1.2.7). Вопрос о продол-, жении произвольной функции до монотонной на произведении пространств решается в теореме 1.2.9 и в примере 1.2.10.
В третьем параграфе устанавливаются необходимые и достаточные условия функциональной т-отделимости и функциональной т-вырожденности для локально дугообразно связных пространств.
Теорема 1 (теорема 1.3.3/ Пусть X - связное, локально дугообразно связное, функционально т-вырожденное пространство. Пусть т = д{Х) - плотность пространства А'. Тогда X можно представить в виде
х = у Са,
а<т
где Са есть простая замкнутая кривая.
Теорема 2 (теорема 1.3.4). Обобщённо локально дугообразно связное пространство, удовлетворяющее условию единственности пути, функционально т-отделимо.
Теорема 3 (теорема 1.3.5/ Пусть X - обобщённо локально дугообразно связное пространство, огбА' < с. Тогда следующие условия эквивсслентны:
(1) X - функционально т-отделимое пространство;
(2) X удовлетворяет условию единственности пути.
Приведены примеры (1.3.6, 1.3.7, 1.3.8) показывающие существенность условий в этих теоремах.
Во четвёртом параграфе первой главы рассматриваются метрические компакты. Используя технику, развитую в работах К. Куратовского ([10]), получены следующие критерии, являющиеся первым основным результатом диссертации.

Напомним, что если У С X и Т{Х) есть семейство функций на X, то через Х(УХ) будем обозначать семейство сужений на У функций из Т{Х).

Теорема 3.1.4 Пусть X — и X,, где X, - связные линейно упорядоченные ком-

) пакты, и СМ{Х) монотонно на {А’/“,. Тогда СМР{Х) метризуемо.

Доказательство. Обозначим У„ = У А). Рассмотрим семейства функций

Тп = СМр(УпХ),

и отображения ф„ : СМр(Х) —> Тп, задаваемые формулами
ФЛЛ = /|у„, / е смр(Х).
Так как семейство СМ(Х) монотонно на (А'г}гА1, то пространства Тп метризуемы по предложению 3.1.2, как подпространства С(Уп). Нетрудно убедиться, что семейство разделяет точки и замкнутые множества в СМр(Х). Следовательно,
диагональное произведение

ф = Афп : СМР(Х) -> []

является гомеоморфным вложением ([15], теорема 2.3.20). ]"| Хп метризуемо, как

счетное произведение метризуемых пространств, поэтому СМр(Х) метризуемо. □ Из теорем 1.1.4 н 3.1.4 получаем следующий результат.

Следствие 3.1.5 Пусть X = У Xi, где Х{ - связные линейно упорядоченные ком-

пакты, и огбА < с. Тогда СМР(Х) метризуемо.

Следствие 3.1.6 Пусть X = У X,, где X, либо дуга, либо точка. Тогда СМр{Х)

является метризуемым пространством со счетной базой.
Доказательство. По теореме 1.1.4, СМ(Х) монотонно на {А',}“/. Как и выше, рассмотрим семейства Тп, отображения ф„ и диагональное вложение ф — Дф„. Поскольку СМР(Т) является метризуемым пространством со счетной базой, этим свой-

ством обладает пространство \ Хп а пространство СМР(Х). □

Теорема 3.1.7 Пусть (X, <) - линейно упорядоченное пространство. Следующие условия эквивалентны: