Многозначные динамические системы и системы итерированных функций

• Автор: Трошин, Павел Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 115 с. : ил.

Содержание
Список условных обозначений
Введение
Глава 1. Многозначные динамические системы с весами
1.1. Основные понятия
1.2. Оператор Купмана
1.3. Оператор Фробениуса-Перрона
1.4. Эргодичность
Глава 2. 2-значные динамические системы на отрезке
2.1. Динамические системы, связанные с арифметическими разложениями
2.2. Критерий инвариантности меры
Глава 3. Системы двух итерированных линейных функций на комплексной плоскости
3.1. Системы итерированных функций
3.2. Адресная структура для систем итерированных функций
3.3. Достаточные условия для вычисления адресной структуры
Глава 4. Системы двух итерированных линейных функций над телом кватернионов
4.1. Общий случай: вращения вЕ4
4.2. Частный случай: вращения в М3
4.3. Частный случай: вращения в К2
Литература

Список условных обозначений
N — множество натуральных чисел (1,2
R — поле вещественных чисел С — поле комплексных чисел Ы — тело кватернионов
АВ — теоретико-множественная разность двух множеств А — замыкание множества А° — внутренность множества Ас — дополнение множества
A U В — объединение непересекающихся множеств
fog — композиция двух отображений
/-1 — полный прообраз для отображения
Ха — характеристическая функция множества
3 — существует
V — для любого
=> — влечет
ФФ- — тогда и только тогда, когда = — тождественно равно
а = 6(mod с) — равенство по модулю с: а—Ъ — ск, а, Ь, с Є R, к = 0, ±1, ±2,

Введение
Актуальность работы. В представленной работе изучаются динамические системы, порожденные многозначными трансформациями, которые можно рассматривать как набор отображений, выбираемых с заданными в каждой точке пространства вероятностями. Такие системы интересуют нас особенно как «надстройка» над системами итерированных функций, имеющими, как правило, фрактальные аттракторы.
В настоящее время теория динамических систем и теория систем итерированных функций являются интенсивно развивающимися разделами эрго-дической теории и фрактальной геометрии, тесно связанными со многими разделами математики: топологией, алгеброй, дифференциальной геометрией, теорией чисел, теорией меры, теорией случайных процессов, теорией особенностей, функциональным анализом и вариационным исчислением и имеющими широкое применение в математической физике, компьютерных технологиях. Хороший обзор в этой области можно найти, например, в монографиях Х.В. Брура, Ф. Дюмортье, С.Дж. ван Стринга и Ф. Такенса [14], М. Брина и Г. Штука [39], И.П. Корнфельда, Я.Г. Синая и С.В. Фомина [9], P.M. Кроновера [10], Х.-О. Пайтгена, X. Юргенса и Д. Саупа [83], М.Ф. Барнсли [26, 28], А.Б. Катка и Б. Хасселблата [7], С. Уэлстида [16], П.Р. Массопуста [77], П.Р. Халмоша [18], Дж. Кигами [68].
Основным классическим подходом к изучению нелинейных динамических систем является явное или приближенное «вычисление» индивидуальной траектории (например, работы Дж.Д. Биркгофа [35], Дж. фон Неймана [99], Б.О. Купмана [69], монографии Дж.Д. Биркгофа [34], А.Я. Хинчина [19],
Н.С. Крылова [11], П. Биллингслея [1], А.Б. Катка и Б. Хасселблата [7]). Однако все более внедряются геометрические и алгебраические методы в данной области: вместо эволюции точек изучаются эволюции плотностей распределе-

Пусть Ug = Us», g Є M(X, В, р). Учитывая рекуррентную формулу (1-17),
us+19 = £ och ( (ah-jn+i ° Sh) (g о Sj2...jn+1 о %)

k J2,—«Jn+l=l
— У ] 0iji'{aj2—jn+i°Sji)'(9°Sji...jn+1)— '(.9°
ІЬмчІп+1
Jn+1
= и$п+ід.
Для доказательства равенства с операторами Фробениуса-Перрона воспользуемся Теоремой 1.5, с. 32: для любой д Є Ь°°
(P$f)' 9 dp
f-(Unsg)dp
f (USng) dp
{Ps"f) -g dp.

Выбирая в качестве д = Хв, В & В, получаем требуемое.
Рассмотрим множество плотностей V = {/ е Ьг / О, /с£д = 1}.
В следующей теореме утверждается, что плотность / является неподвижной точкой оператора Р тогда и только тогда, когда она является плотностью 5-инвариантной меры и. абсолютно непрерывной относительно меры р.
Теорема 1.7. Пусть / € V. Тогда Р/ = / в том и только в том случае, когда Б сохраняет меру о{В) = $в/ др.
Доказательство. Пусть В & В. Тогда

К{х, В) du
f{x)K{x, В) dp
Р f dp.

А с другой стороны, у {В) = jBf dp. □
Следствие 1.3. ps = р тогда и только тогда, когда PI = 1 (1 € L1).

Лемма 1.8 ([73]). Пусть М: L1 —» L1 — марковский оператор и / G L1, тогда Mf — f в том и только том случае, когда М(/+) = /+ и
В частности, это справедливо для оператора Р.