О необходимых условиях существования решений нелинейных дифференциальных неравенств высокого порядка

• Автор: Джонатан Р. Хей
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 97 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Необходимые условия существования глобальных решений нелинейных обыкновенных дифференциальных неравенств произвольного порядка
1. Модельная задача
2. Правая часть с двумя слагаемыми
3. Неравенства общего вида
Глава 2. Необходимые условия существования глобальных решений
систем нелинейных обыкновенных дифференциальных неравенств произвольного порядка
1. Простейший случай системы двух дифференциальных неравенств с
переменными коэффициентами
2. Система первого порядка со смешанной правой частью
3. Система высокого порядка со смешанной правой частью
4. Система неравенств
Глава 3. Необходимые условия существования локальных решений
нелинейных обыкновенных дифференциальных неравенств произвольного порядка с сингулярной правой частью
1. Задача первого порядка
2. Неравенство второго порядка
3. Модельная задача высокого порядка
4. Задача с несколькими слагаемыми в правой части
Глава 4. Необходимые условия локальной разрешимости систем
нелинейных уравнений и неравенств высокого порядка
1. Модельная задача
2. Система высокого порядка со смешанной правой частью
3. Системы неравенств
Литература

Введение
Общая характеристика работы
Хорошо известна классическая теория о существовании решения задачи Коши для ОДУ. Для нелинейных уравнений и систем классическая теорема существования устанавливает только наличие решения в некоторой окрестности начальной точки и не всегда позволяет определить всю область определения решения. В связи с этим оказывается важным поиск необходимых условий существования решения. Обычно поиск необходимых условий существования решения проводится методом “сравнения”. В рамках этого метода строится “нижнее решение” задачи. В случае разрушения этого решения за конечное время, происходит и разрушение решения исходной задачи. К сожалению этот метод не является общим и не может быть использован при исследовании существования решения многих практически интересных классов уравнений. В настоящей работе проводится поиск необходимых условий существования решений задачи Коши для нелинейных ОДУ и систем нелинейных ОДУ методом, предложенным ранее Митидиери и Похожаевым для уравнений в частных производных [9]. Использование этого метода позволило получить неулучшаемые необходимые условия существования решения для нескольких типов нелинейных обыкновенных дифференциальных неравенств и их систем.
В диссертации впервые установлены следующие результаты:
1. Метод априорных оценок разработан применительно к задаче Коши для ОДУ и систем ОДУ любого порядка.
2. Методом априорных оценок получены необходимые условия существования глобальных решений задачи Коши для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка с различными типами нелинейности правых частей.
3. Методом априорных оценок получены необходимые условия существования локальных решений задачи Коши для нелинейных сингулярных обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка с различными типами нелинейности правых частей.
Работа имеет теоретическую направленность. Найдены достаточные условия разрушения (необходимые условия существования) глобальных и локальных решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и неравенств, а также систем таких неравенств. Во всех основных теоремах приведены примеры, демонстрирующие неулучшаемость полученных условий существования решений. Используемый подход применим и к дифференциальным неравенствам в частных производных.
Основные результаты диссертации содержатся в работах [13, 14, 15, 16], без соавторов.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Первая и четвертая главы разбиты на 3 раздела, вторая и третья на 4 раздела. Объем диссертации — 97 машинописных страниц.
Содержание диссертации
Целью настоящей диссертации является получение необходимых условий существования глобального решения нелинейных обыкновенных дифференциальных неравенств и систем нелинейных обыкновенных дифференциальных неравенств произвольного порядка, а также получение необходимых условий существования локального решения сингулярных нелинейных обыкновенных дифференциальных неравенств произвольного порядка с различными типами нелинейности.
Одним из важнейших отличий нелинейных задач от линейных является возможность возникновения сингулярностей решения даже для идеально гладких начальных данных, точнее, для данных, для которых возможно установить разрешимость задачи в малом. В случае линейных задач сингулярность возникает обычно из-за сингулярности в коэффициентах или в начальных данных. В нелинейных системах сингулярность часто является следствием нелинейной природы задачи и определяется множеством входящих в задачу параметров, которые в совокупности существенно затрудняют исследование.
Простейшей формой сингулярности в нелинейных задачах является случай “разрушения решения” (blow-up), когда решение стремится к бесконечности тогда как независимая переменная приближается к некоторому конечному значению. Рассмотрим в качестве примера обыкновенное дифференциальное уравнение
и'=и2, t > 0, и(0) = а. (0.1)
Для а > 0 очевидно единственное решения задачи на полуинтервале 0 ^ t < Т = 1/а, определяемое формулой u(t) = 1/(Т — t). Это гладкая для t < Т функция, и u(t) —» оо при t —> Т~ (предел слева). Будем говорить, что решение разрушается при t = Т.
Для уравнения и1 = ир, р > 1, и более общего
и1 = /(и), (0.2)
где / — положительная, и, для простоты, непрерывная, условие

Jds/f(s) <оо, (0.3)

называемое критерием Осгуда, было установлено в 1898 г. Данное условие является необходимым и достаточным условием разрушения решения для положительных начальных данных. В более общем варианте можно говорить о системе и1 = f(t,u) для векторной переменной и 6 R”. В этом случае решение может разрушаться, если / имеет рост быстрее линейного для достаточно
больших |и| или содержит сингулярность по t.

1.3. Неулучшаемость результатов. Покажем на примерах, что результаты раздела 1.1 точны, т.е. при условиях
гд (кі - 1) + г (к2 + 0) + (а + 1) < О, гд (к2 — 1) + д (&1 + а) + (0 Т 1) < О
(2.34)
глобальное решение может существовать. Например, в случае к, к2 = 1 условия (2.34) принимают вид:
г (1 + 0) + (а + 1) < О; д (1 + а) + (/3 + 1) < 0. Будем искать решение в виде
х(і) = Схіх у(і) = С2іх
(2.35)
(2.36)
где ЛьЛг > 0, С,С2 > 0, t е [1,оо). Заметим, что Хк- (1) ,Ук-1 (1) > 0. Подставляя в систему (2.2), получаем
~ =Л1С,ПА'-1 = Ма (С2(А2)г, ^ =к2С21Х2-1 =В10(С^у. (2.37)
Приравниваем степени:
Ах — 1 = а. + А 2т, 2 — 1 = 0 Т Ах <7, (2.38)
что дает

г(0 + 1) + (1 + а)

(0 + 1) -г д (а З 1)
(2.39)
1 — гд ’ ‘ 1 — гч
Заметим, что числители в силу (2.35) и знаменатели в (2.39) (г,д > 1) отрицательны, т.е. АьАг > 0, что и требовалось. Таким образом, результаты раздела 1.1 точны для задач первого порядка.
Аналогично можно показать, что результаты точны для систем произвольных порядков к,к2. Для этого приравниваем степени в выражениях
СІкі X

П (Л'_ *)
. І=0 к“
П (А2-І)
С^Хі~кі
С2ЬХ2~к
Аіа (С2іХ2У , Ві0 (СїІХіУ ,
(2.40)
т.е. Аі — к = а + А2г, Х2 - к2 — 0 + Аід, откуда
г {к2 + 0) + кі + а д (кх + а) + к2 +
Лі — , Аг
1 — гд
1 — гд
(2.41)