Задачи достижимости и синтеза управлений для гибридных систем

• Автор: Точилин, Павел Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 110 с. : ил.

Содержание
Содержание
Перечень основных обозначений
Введение
1 Достижимость и верификация в гибридных системах
1.1 Гибридная система
1.1.1 Описание модели
1.1.2 Классы допустимых управлений
1.1.3 Траектория гибридной системы
1.1.4 Дополнительные ограничения на параметры системы
1.1.5 Кусочно-линейная система с переключениями
1.2 Множество достижимости и задача верификации
1.2.1 Постановка задачи
1.2.2 Дискретная история траектории гибридной системы
1.2.3 Свойства множества достижимости
1.2.4 Решение задачи верификации
1.2.5 Метод динамического программирования. Функции цены
1.2.6 Решение задачи верификации с помощью функций цены
1.2.7 Об эллипсоидальной аппроксимации множества достижимости
1.2.8 Примеры построения аппроксимации множества достижимости
2 Задача синтеза управлений для гибридной системы
2.1 Слабо инвариантное множество
2.1.1 Дискретная история траектории гибридной системы. Представление
слабо инвариантного множества в виде композиции одношаговых операторов
2.1.2 Функции цены для слабо инвариантного множества
2.2 Решение задачи синтеза управлений при помощи функции цены
2.3 Об эллипсоидальной аппроксимации слабо инвариантного множества
3 Примеры
3.1 Пример в Е2. Моделирование движения бильярдного шара
3.1.1 Описание математической модели
3.1.2 Эффект Зенона
3.1.3 Квазиперподические траектории

3.2 Пример в Ж3. Задача управления шариком, скачущим на вращающейся плоскости
3.2.1 Описание математической модели
3.2.2 Задача управления траекторией гибридной системы
3.2.3 Функции цены и уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана
3.2.4 Оптимальное управление
3.2.5 Примеры
Заключение
Библиография

Перечень основных обозначений.
N - множество натуральных чисел
Ъ - множество целых чисел
К - множество вещественных чисел
К" - множество п-мерных векторов (вектор-столбцов)
{х, у) - скалярное произведение векторов т и у
||ж|| - евклидова норма вектора х, равная (ж, ж)1//2
I - единичная матрица
А! - транспонированная матрица А
£(д, (2) - эллипсоид с центром д и матрицей конфигурации () (<3 = (' > 0):
Є(Я,<2)={х(1,х-Ч)<(1,<31)1'2,Чі}
Вг(р) - шар радиуса г > 0 с центром в точке р (Вг(р) = £(р, гЕ))
/*() - сопряженная (по Фенхелю) функция к /():
}*{х) = зируєК. {{ж, у) - /{у)} р(1А) - опорная функция ко множеству А в направлении I:
р(1А) = вирд (1,х) сопу(Л) - выпуклая оболочка множества А:
сопу(Л) = {ж = оііХі : Хі Є А, щ > 0, л= аі ~ 1> к Є {1, 2, ...} | сопу/(-) - выпуклая оболочка функции/(ж): сопу/(ж) =/**(ж)
сопс/(-) - вогнутая оболочка функции /(ж): сопс/(-) = —(сопу(—/()))
А/В - дополнение множества В до А (В может не быть подмножеством А)
А/В = {х Є А : х <£ В}
А + В - алгебраическая сумма множеств А и В:
А + В = {х = а + Ъ : а Є А,Ь Є В}
А—В - геометрическая разность (Минковского) множеств Ап В:
А—В = {х : х + В С А}

М = {х € 3(г*(тк - 0),>) : У(т*, х|$) < 0},
£ = ж, г*(тк - 0), иг], иа(тк, г'{тк - 0))) : х € 5(**(т* - 0),),
6 'Рс{(г*(тк - 0)),У(тк, х[ф) < 0}.
Если функция У(т1,хУ1,1р) выпукла по х, то множества М., К. являются выпуклыми. Множества <5Г, являются выпуклыми, в соответствии с предположением 5. Определим теперь функцию У{Ь,хф{Ьо,Ь, г0)) следующим образом:
• если 5/г ‘ + гк = ‘ - ‘ и £г = 0, то У(*,а;|(*о,Мо)) = +оо;
• если . = Ч‘,ц = ‘- ‘иУ0, то:
У(г,а#(г0,Мо)) = пйп<У{гк,х{тк-Ь,хк, -оо)|„„(.)|)+
+ (Р(х(ткг, х, у'ь -оо)|Цс(.),5г)+
+ J (12(х(т;х,и,-оо)ис(.),0*к,М))(1т ис(-) еио(тк,] (1.25)
если 5ц, = ‘ — гк = ‘ + ‘ и <58 = 0, то У(£, ж|(£о! Мо)) = +°о;
если я* = ‘ — гк = 1 + ‘ и 2>8 = 0, то:
У{*, а#(*о, и г'о)) = пип|у(т*, К~Тк_т (тк)(х(тк; #, х, г*(тк - 0), -оо)|„с(.)-
- Ыщ - Щ.(ткщк{тк)ьа(тк,г*{тк - 0)))|)+
+ + [ (Р{х(т-;Х, 1*{тк — 0), —оо)|ис(.),ГГ*(г*(7>; — 0),/С))с!т|
•*тк I
ис(-) 6 Ы0{ткЛ),ил е Тл(У(тк - 0))}; (1.26)