Асимптотическое по времени поведение решения начальной задачи Коши для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью

• Автор: Гасников, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 64 с. : ил.

ГЛАВА 1. Сходимость в норме Д (Кх) решения начальной задачи Коши
для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью к бегущей волне
§ 1 Модель Лайтхилла - Уизема
§ 2 Модель Полтеровича - Хенкина с выбытием мощностей
§ 3 Свойства решения начальной задачи Коши для закона сохранения с нелинейной
дивергентной вязкостью
§ 4 Сходимость в норме Ц (КД решения начальной задачи Коши для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью к константе и к бегущей волне
ГЛАВА 2. Сходимость на фазовой плоскости решения начальной задачи Коши для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью к системе волн
§ 1 Обобщение теоремы Ме]'а1 - Уо1регСа. Экстремальный смысл системы волн
§ 2 Принцип сравнения на фазовой плоскости
§ 3 Оценка сверху производной по пространственной переменной решения начальной
задачи Коши для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью
§ 4 Оценка снизу производной по пространственной переменной решения начальной
задачи Коши для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью
§ 5 Оценка скорости сходимости на фазовой плоскости решения начальной задачи Коши для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью к системе волн..25 С
ГЛАВА 3. Сходимость в норме С(МХ) решения начальной задачи Коши
для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью к системе волн
§ 1 Теорема о равномерной сходимости к системе волн
§ 2 Схема доказательства
§ 3 Исследование равномерной сходимости к системе волн на участках, соответствующих
асимптотическому поведению “бегущая волна”
§ 4 Исследование равномерной сходимости к системе волн на участках, соответствующих
асимптотическому поведению “волна разрежения”
ПРИЛОЖЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Во второй половине 40-ых годов XX века в СССР и США интенсивно занимались исследованием процессов возникающих при взрыве бомбы. В частности, большое внимание было уделено изучению начально-краевых задач для уравнения типа закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью (здесь и везде в дальнейшем х - скалярная переменная, у - скалярная функция)
ду | 8f(y) 82v(y) dt дх дх2
где v'(y) > 0; / (у), v(y) - достаточно гладкие функции. В последующие полвека было обнаружено, что начальная задача Коши (далее з.К.) для уравнения (1) возникает также в макроскопической теории транспортных потоков [1], при моделировании конвекционного течения жидкости в пористой среде [2], при изучении устойчивых монотонных разностных аппроксимаций квазилинейных уравнений типа закона сохранения [3], в математической экономике при моделировании научно-технического прогресса (модель Полтеровича - Хенкина) [4] - [8].
В конце 50-ых годов И.М. Гельфанд поставил задачу (см. стр. 119 работы [9]): найти асимптотику при / -> оо решения y(t, х) уравнения (1) при следующих начальных условиях типа Римана:
У.-, х<х_
у(0, х) = -у0 (х), х_ < х < х+ , (2)
где х_ < х+, у_ <у+ и у0 (х) - ограниченная измеримая функция при х е [х_, х+].
Интерес к этой задачи был вызван, в первую очередь, качественными вопросами газовой динамики. Также решение задачи Гельфанда даёт ответы на следующие вопросы: как распространяется информация о заторе в транспортном потоке, описываемом моделью Лайтхилла - Уизема; как объяснить наличие нескольких укладов в экономике отрасли, описываемой моделью Полтеровича - Хенкина и её обобщениями.
В 1960 году А.М. Ильин и O.A. Олейник [10] исследовали случай сходимости решения з.К. (1), (2) к бегущей волне (решению уравнения (1) вида y(x-ct)) или волне разрежения
(решению уравнения (1) с v(y) = 0 вида g(x/t)). Спустя 30 лет H.F. Weinberger [11] изучал
асимптотику вида системы бегущих волн и волн разрежения. Ему удалось показать сходимость решения з.К. (1), (2) к этой системе волн на участках, соответствующих асимптотическому поведению “волна разрежения”. Спустя ещё почти 10 лет В.М. Полтерович и Г.М. Хенкин [8] выдвинули гипотезу, согласно которой при определённых условиях асимптотика имеет вид чередующейся системы бегущих волн и волн разрежения, при этом следует допускать зависимость сдвигов фаз бегущих волн от времени. В 2004 году Г.М. Хенкин и A.A. Шананин [12] доказали справедливость этой гипотезы в важном частном случае, когда асимптотика имеет вид бегущей волны - волны разрежения - бегущей волны (см. также [13]). В 2007 году Г.М. Хенкин [14] полностью доказал сформулированную ранее гипотезу. Заметим, что в гипотезе рассматривалась конкретная вязкость. При этом на функцию потока / (у) на-

лагались условия, которые исключают возможность наличия в системе волн двух и более бегущих волн, идущих подряд. Также на вторую производную функции потока налагались дополнительные требования в окрестностях точек, соответствующих переходу с бегущей волны на волну разрежения и наоборот.
В последние годы наметилась тенденция другого подхода к решению задачи Гельфан-да. Этот подход восходит к пионерской работе А.Н. Колмогорова, И.Г. Петровского, Н.С. Пискунова 1937 года [15], в которой изучалась сходимость решения начальной з.К. для уравнения теплопроводности с нелинейным источником к одной бегущей волне. Результаты этой работы в 1977 году были распространены P.C. Fife’oM и J.B. McLeod’oM [16] на систему волн, состоящую для этого уравнения только из бегущих волн (см. также [17]). В 1999 году М. Mejai и Vit. Volpert’oM [18] подход работы [15] был адаптирован к исследованию задачи Гельфанда. В 2006 году S. Engelberg и S. Schochet [19] с помощью “адаптированного” подхода исследовали случай сходимости решения начальной з.К. для уравнения (1) к бегущей волне. Возникла задача, подобная той, которую решили P.C. Fife и J.B. McLeod [16] для уравнения теплопроводности с нелинейным источником: с помощью “адаптированного” подхода исследовать сходимость решения начальной з.К. для уравнения (1) к системе волн. Актуальность решения этой задачи обусловлена, как минимум, двумя обстоятельствами. Во-первых, новый подход может дать новые результаты в решении задачи Гельфанда. В частности ответить на вопрос, как взаимодействуют две и более бегущие волны, идущие подряд. Во-вторых, появляется возможность единообразно посмотреть на задачи исследования асимптотического поведения решений начальных з.К. для уравнения теплопроводности с нелинейным источником и для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью. Таким образом, появляется гипотеза о достаточной универсальности подхода работы [15].
Основной целью диссертационной работы является распространение результатов P.C. Fife’a и J.B. McLeod’a [16], касающихся сходимости решения начальной з.К. для уравнения теплопроводности с нелинейным источником к системе волн, на закон сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью.
В диссертации предложен новый подход к исследованию задачи Гельфанда, который не требует тонкого анализа поведения решения на участках, соответствующих переходам с одной волны на другую. Опишем вкратце, в чём состоит этот подход.
Действительная ось, отвечающая пространственной переменной, разбивается (в зависимости от времени) на три типа участков, соответствующих предполагаемому поведению решения на больших временах: 1) бегущая волна; 2) волна разрежения; 3) переход с одной бегущей волны на другую, переход с бегущей волны на волну разрежения, переход с волны разрежения на бегущую волну и окрестности точек х = ±оо.
При доказательстве равномерной по координате сходимости по времени решения начальной з.К. для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью на участках, соответствующих бегущим волнам, используется конструкция, предложенная S. Engelberg’ом и S. Schochet’oM [19], базирующаяся на результатах М. Mejai и Vit. Volpert’a [18].
Для доказательства равномерной по координате сходимости по времени решения начальной з.К. для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью на участках, соответствующих волнам разрежения, уточняются результаты H.F. Weinberger’a [11].
Сходимость на оставшихся участках выводится из уже установленных сходимостей.
С помощью этого подхода доказана сходимость решения к системе волн в норме С(М,) при более общих условиях на функцию потока и на начальную функцию, чем в рабо-

з £?„-,>0, <7лЧ >0: V а„_, >а>0
Таким образом, формула (2.19) доказана для всех £, рассматриваемых в этом пункте. Положим Жк ((, х) = 1¥к (г + 1к, х + Ьк (<х)). Заметим, что поскольку
V />^, Х*Х4(?), Х*х/(^), (Т0><7>0
I гг г, о
^ ; 9/ 9х дх2
>0,

Кроме того, Положим,
V />0, х*х4"(?+/*)-&* (сг), х*х;(г+/4)-94(сг), <т0 >сг>0
и ('• *) = 1Г,V (' +Ч> X+** И) * 0 •
V х є К -> у0 (х) < Цгк (0, х).
К"*1 (0={х: ^('> *)е[А +°’р аы-<у2]}-
А?'"* (/) = {х: & (х/0е [Д +<т„ ам-а2]}.
Из формул (2.20), (2.21) и принципа сравнения имеем, что
3 <х4 > 0: V О0, ак>сг>0, х еЛ°
Ц,,гС)5Г»'1(,,х) = Д1(^А7^+Л('+<л]=й|,^И+'',(<Н)
V г+**
7 V ' + Г*
Используя (2.1), получим, что
3 ак>0, Р = тах|/'(у)|: V ^к, ак>(т>0, хеЛ°а(0

х") бД<х) + Л(* + 0^ + Р^ <я Гх+^И

/ + /«.
- + Л4(/ + /4)
^И+/1*(ґ+ґ*)г+Рґ*
Откуда, с учётом (2.16), (2.19), следует,
3 А>°, °к=тт{ак,(ак/1к)2}: У ак>а>0, />а4сг"2, *еЛ2'"(/)
|+<т,

-<гй¥к{и x)
Из формул (2.22), (2.23) окончательно имеем,
3 сг4>0, а4=4я4: V сг4>сг>0, 1>аксг~2, хеЛ4,с’(О
— 1 + сг.
(2.20)
(2.21)
(2.22)
(2.23)
(2.24)
2. Рассмотрим оставшийся случай к = 0 и а0 = Д,. Для большей наглядности, мы изучим этот случай при дополнительном предположении:
3 х.еК, /г_>0, ^>0: V х<х_->у0(х)-у_ <^|х|"'“".
Как будет видно в дальнейшем, это предположение не является существенным, однако, позволяет лучше раскрыть идею.