Скорость сходимости некоторых цепных дробей и их приложения

• Автор: Рагимханова, Гюльнара Сарухановна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 78 с.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ФОРМУЛА ОБРЕШКОВА §1. Вывод формулы
§2. Разложение конкретных функции и оценка остатка ГЛАВА 2. СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
£/. Связь цепных дробей с дробями Паде §2. Формула Тиле
§3. Скорость сходимости ценных дробей специального вида
ГЛАВА 3. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
§1. Решение гипергеометрического уравнения методом цепных дробей §2. Приложение цепных дробей к решению уравнения Риккати
§3. Рациональная интерполяция функции |х| на монотонных последовательностях узлов §4. Рациональная интерполяция функции |х| на равномерных сетках узлов ПРИЛОЖЕНИЕ ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Работа посвящена исследованию скорости сходимости некоторых цепных дробей для аналитически заданных функций одной переменной, вопросу выяснения общего вида подходящих дробей и приложениям цепных дробей к решению различных задач, связанных с дифференциальными уравнениями и теорией интерполирования функций.
Методы вычисления элементарных функций, а также относящиеся к ним различные формулы играют важную роль в численных методах решения задач, поскольку большой труд составляет вычисление значений элементарных функций и их различных комбинаций.
В работе получена оценка скорости сходимости цепных дробей достаточно общего вида, из которой можно получить, в частности, оценки скорости сходимости цепных дробей для важнейших элементарных функций; при этом в качестве источника цепных дробей могут выступать как дифференциальные уравнения, так и формула Тиле с обратными производными или дроби Паде. Даны оценки скорости сходимости многих разных представлений в виде цепных дробей элементарных функций и связанной с ними гипергеометрической функции.
Важной и вместе с тем сложной является задача выяснения общего вида подходящей дроби, исходя из данного разложения в цепную дробь. Наиболее общий подход к этому вопросу достигается при помощи формулы Обрешкова, которая в свою очередь является одним из обобщений формулы Тейлора. В работе дано новое доказательство формулы Обрешкова, которое можно распространить на функции многих переменных и на случай функций, заданных разложением в ряд Фурье. Получены также оценки остатка формулы Обрешкова для некоторых конкретных функций.

С помощью интерполяционных цепных дробей в работе решены две задачи: задача о точной оценке наилучшей скорости сходимости интерполяционных рациональных дробей к функции |х| на отрезке [— 1; 1] среди всех монотонных по модулю последовательностей узлов интерполяции и задача о точной скорости равномерной сходимости рациональных функций, интерполирующих функцию |х| на отрезке [— 1; 1] в равноотстоящих узлах.
Приведем кратко некоторые предварительные сведения о цепных дробях и источниках их получения.
Выражение
ь0+Л1_ (])
Ь + 1>2 + + Ьп +
называется бесконечной цепной (непрерывной) дробью. Элементы цепной дроби „ „(п = 1,2,...) - могут быть числами (вещественными или комплексными), функциями (одной или большего числа переменных). Конечная цепная дробь
Ь0 4——!— = (2)
ь,+ ь,+ +ь„ о„
называется подходящей дробью порядка п (п = 1,2,...) для цепной дроби (1). Если существует конечный предел (обозначим его через Т)

Нш-2- = Т,
*•♦«> С')
то цепная дробь (1) называется сходящейся и Т называется значением цепной дроби (1). Если же написанный предел не существует (или существует, но равен бесконечности), то цепная дробь (1) называется существенно расходящейся (несущественно расходящейся). Важным является вопрос: в случае сходимости цепной дроби (1) к числу Т оценить скорость стремления к нулю разности

Отсюда следует, что если
Р„(:) _ ^ _1_ /’„+■(-) _1_
&,(') 'V ’ С?„+.0)
В окрестности ТОЧКИ 2 = оо,
то ЛА. =5* для 0££ <2/7, и цепной дроби (22) можно сопоставить ряд

где /у = = Ву.
Заменив в (22) г на у, получим цепную дробь (при Л, =Л2 = ... = о)

я,/ а,/' я,/' я„г
= /о +
1 — /?] t + 1 — />,/ + I — h%t + + 1 — bnl + с, axt сс,я,Г c„c„,a„r
d,l dj2 d.t
c, + c, + + c„ +
где £■] ,c2,...-произвольные числа, t/| =c1al , dk = akckck_x для k>2.