Оценки характеристических чисел интегральных операторов

• Автор: Ломакина, Елена Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 150 с.

Глава 1. ОЦЕНКИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ ОПЕРАТОРА ХАРДИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ §1.1. Оценки характеристических чисел
оператора Харди с одним переменным
пределом интегрирования
§ 1.2. Оценки характеристических чисел
оператора Харди с двумя переменными
пределами интегрирования
Глава 2. ОЦЕНКИ НОРМ ШАТТЕНА - НЕЙМАНА ОПЕРАТОРА ХАРДИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
§ 2.1. Предварительные результаты
§ 2.2. Оценки норм Шаттена - Неймана
оператора Харди с одним переменным
пределом интегрирования
§ 2.3. Оценки норм Шаттена - Неймана
оператора Харди с двумя переменными
пределами интегрирования
Глава 3. ОЦЕНКИ АППРОКСИМАТИВНЫХ ЧИСЕЛ ОДНОВЕСОВОГО ОПЕРАТОРА РИМАНА - ЛИУВИЛЛЯ
§ 3.1. Предварительные результаты
§ 3.2. Преобразования
§ 3.3. Оценки ап(Та>у) на конечном интервале
/ = (а, Ь) С (0, оо)
§ 3.4 Оценки ап(Та>у) на конечном интервале
в случае 1 < р < 2 < д < оо
§ 3.5. Оценки сверху ап(Та<г) : Ьр(0, оо) —>■ Ьч{0, со))
§ 3.б. Оценки снизу ап(Тар : Ьр(0, оо) -> Т9(0, со))
§ 3.7. Оценки аппроксимативных чисел двойственного
оператора Римана - Лиувилля
Глава 4. ОЦЕНКИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ ОДНОВЕСОВОГО ОПЕРАТОРА РИМАНА - ЛИУВИЛЛЯ
§ 4.1. Предарительные результаты
§ 4.2. Оценки еп(Тау : Ьр(0, оо) —>■ Ья(0, оо))
§ 4.3. Асимптотические оценки чисел Гельфанда,
Колмогорова, Вейля и Гильберта
оператора Римана - Лиувилля
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ : Список обозначений

Задачи метрической аппроксимации множеств, функциональных классов и линейных операторов имеют в математическом анализе глубокие корни. История вопроса восходит к классическим работам П.Л. Чебышева, А.Н. Колмогорова, Г. Вейля, И.М. Гельфанда и многих других авторов.
В случае линейных операторов объектом исследования служит поведение собственных чисел и характеристических чисел, отражающих аппроксимативные свойства изучаемого преобразования, при этом наиболее важным примером характеристических чисел, порядково или асимптотически мажорирущих все остальные, являются аппроксимативные числа (а—числа).
Пусть &{Х, Y) - пространство всех линейных, ограниченных операторов действующих из банахова пространства X в банахово пространство Y.
Аппроксимативные числа оператора Т € &(Х, Y), определяются как расстояние в &{Х, Y) между оператором Т и подпространством &(Х, Y) всех конечномерных операторов:
ап(Т) := inf{||T - L\x-*y '■ L : X -> У, rankL < п — 1}, п € N,
где rankL := dim^(L).
Пусть S,T £ &(Х, Y) и Re &(Y,Z). Аппроксимативные числа обладают следующими свойствами:
(i) ||Г|| = а1(Т)>а2(Т)>...>0;
(И) an+m-(T + S) < ап(Т) + am(S), для всех п, m е N,
(iii) an+m-i(R о Т) < ап(Т) ■ am(R) для всех п, m G N.
(iv) ап(Т) = 0, если rank Т < п.
Обозначим Ж(X, Y) класс всех компактных операторов из &(Х, Y). Пусть lim am(T) = 0, тогда Т £ Ж(Х,У), если же Т £ &(X,Y) и

что противоречит условию леммы.
Обозначим Ck = ак — Ьк, к > щ + I и из первой части следует, что lim inf псп = 0. Зафиксируем п > щ, тогда для любых т > п
Переходя к пределу в этом неравенстве при тг —>■ оо, получаем требуемую оценку. □
Пусть последовательности {&;,„} 6 и {т&)П} € А к заданы по аналогии с формулами (1.1.5) и (1.1.7) следующими соотношениями
Определим
Основные результаты первой главы диссертации заключаются в следующей теореме.
Теорема 1.2.1. Предполоэ/сим, что оператор Н : Ьр(Ш+) -» Ьр(Ж+), 1 < р < оо определенный формулой (1.1.1) компактен и 'У ^ '°~Цп < С*0; ЕЕ Щ,п < оо. Тогда выполнена оценка сверху
к п к п
п-> оо
равенство ат = Ьт + ст влечет
тат = rnbm + тст < sup кЬк 4- тст.
к>п
Следовательно,
lim sup па„ (Я) < f |i?(x)| (и((р(х))((рх))1^+и(ф(х))('ф'(х))1/Л dx n->oo J O'