Обратная задача для интегродифференциальных операторов

• Автор: Курышова, Юлия Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 104 с.

Содержание
Введение.
Глава I. Основное уравнение обратной задачи.
1.1. Основные понятия. Вспомогательные утверждения.
1.2. Вывод основного уравнения обратной задачи.
1.3. Разрешимость основного уравнения обратной задачи. Глава II. Восстановление интегродифференциальных операторов по спектральным характеристикам.
2.1. Решение обратной задачи и его устойчивость.
2.2. Решение обратной задачи в случае малости ядра интегрального возмущения.
2.3. Восстановление интегродифференциального оператора по неполной спектральной информации.
Глава III. Обратная задача для невольтеррова интегродифференциального оператора.
3.1. Постановка обратной задачи.
Вспомогательные утверждения.
3.2. Единственность восстановления невольтеррова интегродифференциального оператора.
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ.
Обратными задачами спектрального анализа называются задачи, в которых по каким-либо спектральным характеристикам нужно восстановить свойства исходного оператора или весь оператор. Спектральными характеристиками могут служить спектры (при различных краевых условиях), спектральная функция, данные рассеяния и др.
Теория обратных задач — это обширная область математики, накопившая на сегодняшний день много результатов. Первый, который послужил началом для развития всей теории, был получен в 1929 г. В.А. Амбарцумяном [53] для оператора Штурма-Лиувилля, а именно, им было показано, что если спектр краевой задачи
-у’ + ф)у = Лу, у'(0) = у'(я) = 0,
составляют числа Як = к2, к є N и {0}, то д(х) г 0.
Результат Амбарцумяна является исключением, в общем случае один спектр оператора Штурма-Лиувилля его не определяет, что и было показано Г. Боргом [59] в 1946г. В этой же работе Борг доказал однозначную разрешимость обратной задачи для операторов Штурма-Лиувилля по двум спектрам. Идея Борга заключалась в построении с помощью вспомогательного (модельного) оператора некоторого нелинейного интегрального уравнения; решение последнего позволяло локально восстановить исходный оператор и исследовать устойчивость решения. Н. Левинсон предложил другой метод доказательства теоремы единственности решения обратной задачи [69], использующий идеи контурного интегрирования. А.Н. Тихоновым в 1949 получена теорема единственности восстановления оператора Штурма-Лиувилля на полуоси по заданной функции Вейля [41].
Мощным аппаратом исследования обратных задач в частности и в спектральной теории вообще явились операторы преобразования. Используя их В.А.Марченко в 1950г. показал [32] (см. также [33]), что оператор

Штурма-Лиувилля определённый на полуоси или на конечном отрезке, однозначно определяется заданием спектральной функции. В 1951г. И.М.Гельфандом и Б.М.Левитаном [10] были получены необходимые и достаточные условия восстановления оператора Штурма-Лиувилля по его спектральной функции. Позже аналогичные результаты были получены для восстановления оператора Штурма-Лиувилля на конечном отрезке по двум спектрам [9]. М.Г. Крейн создал иной метод построения оператора Штурма-Лиувилля. [19], [20].
На протяжении развития теория обратных задач обогащалась новыми методами, наиболее мощный, позволяющий работать со сложными классами операторов — метод спектральных отображений. В частности, с его помощью в [3], [25], [26], [28], [44], [48], [57], [81] решалась обратная задача для дифференциальных операторов высших порядков
В работах [2], [7], [8], [28], [51], [52], [60], [70], [78]-[80], [82] и др. исследуется обратная задача для систем дифференциальных уравнений. Работы
[5], [6], [16], [21], [36], [38], [54], [55], [61], [62], [65], [67], [74], [76], [77],
посвящены обратным задачам для уравнений с частными производными. Отметим также работы [14], [50], [56], [66], [68], [71]-[73], [75] в которых рассматриваются численные методы решения различных классов обратных задач.
Развитие теории обратных задач, начиная с момента возникновения, стимулировалось многочисленными её приложениями в естественных науках. Обратная задача теории рассеяния на оси для оператора (0.1) в различных постановках рассматривалась в [17], [18], [39], [58], [63]. С помощью обратных задач в работах [64], [1], [15], [22], [40] получен метод интегрирования некоторых нелинейных уравнений математической физики,

п> 2.
(0.1)

(і.7б)
то }" єсть базис Риса в Н,.
Доказательство. Рассмотрим произвольную вектор /єН. Ясно, что существует единственное разложение
/ = ЁСА’

ІИГ=ЕКГ <о°- О-77)

По свойствам нормы и в силу неравенства Коши
п+р II п+р ( п+р I п+р
£с*(ч'* - &) 2 ЕКІIV* - &ІІ5, Е1С*Г • і ЕІЬ* - &Ґ ■
к=1+п (І ц] к=1+п V к=1+п V к=1+п
В силу сходимости рядов в (1.76) и (1.77)
Г”+Р ~ I п+Р ~
■ >Л Х1^*_&| -*°> при я-> со для любого р,
V к=+п V к=+п
следовательно, ряд - ^) сходится.

Определим оператор Т действующий из Н в Н, по правилу
Г/*Т(ХсА);=Ес*(ч/*-&). (1.78)

Очевидно, что оператор Т линеен и
Следовательно, см., например [27], оператор Е - А'1Т обратим. Определим оператор В:= А-Т = А{Е-А~1Т), он также обратим, причём В~' =(Е-А~'Т)-1 А''.
Подсчитаем
5ф„ =(А- Т)ф„ = А(р„ - Г<р„ = ц/„ -(ч)„ - g„) = gn.