Некоторые вопросы асимптотического анализа краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка

• Автор: Аржанов, Алексей Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 134 с. : ил

Содержание
Введение
1 Квазиклассинеские спектральные асимптотики и явление Стокса для уравнения Вебера
1.1 Квазиклассическая локализация спектра-
задачи (0.22)-(0.23)
1.2 Множество корней уравнения (0.24)
1.3 Множество П(°)(£), не содержащее точек
спектра
1.4 Явление Стокса
1.5 Характеристические определители
1.6 Локализация спектра в Е^(6)
1.7 Локализация спектра в Е^2' (6)
1.8 Аналитические свойства функции £(/А, г)
1.9 Построение канонических путей ,
1.10 Дополнение
2 Малые колебания вязкой капиллярной жидкости: ВКБ-
подход
Введение. Постановка задачи и формулировка основного результата
2.1 Построение формальных решений
2.2 Доказательство теоремы
2.3 Эффект шепчущей галереи для круга
2.4 Дополнение
2.5 Дополнение
Список литературы
Введение
Асимптотические методы являются мощным средством исследования краевых задач для дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Особенно важным этот подход становится при изучении задач сингулярной теории возмущений. Такие задачи возникают в различных областях естествознания и техники. Предметом диссертации является применение и разработка указанных методов для исследования двух несамосопряженных модельных краевых задач на собственные значения.
Обзор исследований, связанных с диссертационной темой
Изучению спектральных свойств краевых задач с помощью асимптотических методов посвящено большое количество работ (см., например, [7], [2], [20]). Особый интерес представляют несамосопряженные краевые задачи, изучение расположения собственных значений которых в общем случае является трудной проблемой ([6], [19], [15]).
Метод построения асимптотических формул для решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ) второго порядка восходит к Лиувиллю и Грину, которые в 1837 году в своих статьях исследовали уравнение вида
еУ"^) + Я{2)у{г) = (0-1)
при е 4 0 в предположении вещественности и (достаточной) гладкости функции С2(г), где г — вещественная переменная. Оба автора заметили, что функции
у(г,е) := д-1/4(^)ехр|±^2 У у/0{и) йи| (0.2)
’’почти” удовлетворяют дифференциальному уравнению в следующем смы-сле: ^
+ Я(2)у(2’ €) = 0(е1/2у(г, е)) (е 4 0).
Процедура, использованная Лиувиллсм, состояла в следующем. С помощью подходящей замены зависимой и независимой переменных: у := а(г)и и £ £(г) уравнение (0.1) приводилось к виду, отличающемуся от неко-
торого уже исследованного уравнения на члены, стремящиеся к нулю при с —^ 0. Соответствующее ’’уравнение сравнения”, выбранное Лиувиллем, было следующим:
+ гг = 0. (0.3)

Указанная замена переменных выбиралась так, что a(z) := Q{z)~l/4, £ := f~Q(u)1/2du, а уравнение (0.1) в переменных (£,и) записывалось следующим образом:
ev" + v + = 0.
Лиувилль строго показал, что на конечном отрезке, где функция Q(z) не обращается в нуль, ДУ (0.1) имеет решения y(z,e) такие, что
y(z, е) - y(z, е) — О exp |±^2 J VQ(U) >
то есть,
(l + 0(e1/2)) (0.4)
при е 4 0.
Предположение, что Q(z) ДО на рассматриваемом отрезке является существенным. В противном случае y(z, е) даже не является везде определенной функцией. Нули Q(z) называются точками поворота уравнения (0.1).
Одной из первых публикаций по вопросам, связанным с точками поворота, явилась статья Ганса в 1915 году. Описание явления полного отражения с точки зрения физической оптики потребовало исследования ДУ (0.1) при малых б на интервале, где Q(z) меняет знак. Ганс предполагал, что Q(z) = zq(z), где ДО) ф 0, то есть Q(z) имеет нуль первого порядка в точке 2 = 0. Приближения Лиувилля-Грина (0.2) могут быть использованы на интервалах, где z ф 0. Предположим, что ДО) > 0 и нижний предел интегрирования в формулах Лиувилля-Грина выбран равным нулю. Тогда при г > 0 (и б 4- 0) формулы (0.2) представляют осциллирующие функции, тогда как при 2 < 0 соответствующие две функции экспоненциально возрастают и убывают при б 4 0.
В общем случае неверно, что решение уравнения (0.1), аппроксимирующееся одной из указанных функций с одной стороны от z = 0, представляется одной из тех же функций и с другой стороны от нуля. А именно, продолжение рассматриваемого решения аппроксимируется с другой стороны от нуля линейной комбинацией ” функций Лиувилля-Грина” (0.2), и в определении коэффициентов этой линейной комбинации как функций б состоит "'проблема перехода” (проблема нахождения формул связи).
Ганс решил эту проблему, рассмотрев ДУ
ty'o(z) + zq(0)y0(z) =0 (0.5)
и считая, что его решения приближают при достаточно малых z решения исходного уравнения (0.1). Уравнение (0.5) может быть решено в
y(z,e) = Q l^{z) exp |±-уд I у/Q(u) du

Доказательство. Пусть Л £ Е^(6) и
•01 (г, А) = аАх(г,Х) + о2Л2(2, А), 01 (г, А) = адА'Дд, А) + а2А'2(г, А), где «1 = «1(А),ог2 = «2(А). Указанные соотношения в точке г = у/а с учетом формул из лемм 4, 5 при 0 < е < тт{е4,65} дают:
(1+ 9?з(/й!А)) = ад(1 + у/у/а, А)) + а2(1 + <^2(/а, А)),
(1 + ^з(/й) А)) = «1(1 + ф(у/а, А)) — 02(1 + ^(лЛь А)).
Из этой системы линейных уравнений находим:
_ (1 + Уз(-А^ А))(1 + У2(а/Д; А)) + (1 + Уз(у/а, А))(1 + ^(-у/д? А))
(1 + ^(лА? А))(1 + А)) + (1 + *МчА, А))(1 + ^(л/а, А)) ’
_ (1 + ф{у/а, А))(1 + <Дз(Уа А)) - (1 + уДу/а, А))(1 + уз(А> А))
(1 + (дДт/а, А))(1 + ф2{у/а. А)) + (1 + «рД^/а, А))(1 + <р2(л/®) А))'
здесь |<дД>/а,А)| < С^е1/2, |<р;-(л/а, А)| < С'(й)е1//2, ] = 1,2,3, и, стато быть, существует 67 = 67(5) € (0, тт{64,65}), такое что при е £ (0,67)
МЛ) - 1| < Оде1*, |о2(Л)| < С(<У)е1/2.
Учитывая это, с использованием леммы 4, для рассматриваемых значений А получаем:
0Д1, А) = оДА)^, А) 4- а2(А)Д2(1, А) =
= ехРК1/2£-(^ 1)}(1 + ^1(1, А)) +
(VI - А)_
+ (ДТ~=~Х) ехр{~^-(^1)}(1 + ^(1,А)) =
= (УГ~-\ ехР{е~1/2в-{у/й,!)}(! + ФДА)), (VI - А)_
где |Ф1(А)| < С(8)е^2 при е £ (0,67), что и требовалось доказать. ■ Рассмотрим теперь решение 02(2,А). Пусть А £ и
В2(г,) = а%А(г,Х) + о^АД-г, А), 03 = «з(А), а4 = о4(А).
Аналогично предыдущему в точке г = у/а при е £ (0, тт{б4,65}) имеем
(1 + <р4(у/а, А)) = аз(1 + <Д1(/й, А)) + 0:4(1 + 4>2(л/а, А)),
— (1 + А)) = «з(1 + Ф^у/й, А)) — 0:4(1 + ф2(у/а, А)),