Дифференциалы Прима на переменной конечной римановой поверхности

• Автор: Казанцева, Алена Алексеевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Горно-Алтайск
• Количество страниц: 93 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Дифференциалы Прима на переменной конечной
римановой поверхности
§1.1. Предварительные сведения
§1.2. Когомологическое расслоение Ганнинга на конечной римановой
поверхности
§1.3. Элементарные дифференциалы Прима
§1.4. Дифференциалы Прима для несущественного характера ... .27 §1.5. Мультипликативные функции и единицы на конечной римановой
поверхности
§1.6. Дифференциалы Прима для существенного характера
Глава 2. Однозначные дифференциалы на переменной конечной римановой поверхности
§2.1. Элементарные д—дифференциалы
§2.2. Векторные расслоения однозначных мероморфных дифференциалов над пространствами Тейхмюллера
§2.3. Базисы голоморфных дифференциалов на переменных гиперэл-
липтических римановых поверхностях
Глава 3. Дифференциалы Прима с матричными характерами
на компактной римановой поверхности
§3.1. Предварительные сведения
§3.2. Матричные характеры на фуксовой группе
Литература

Введение
Мультипликативные функции и дифференциалы Прима для специальных характеров на компактной римановой поверхности нашли приложения в уравнениях математической физики в работах П. Аппеля [15], С.П. Новикова, И.М. Кричевера [6], в теоретической физике (Р. Дик [17; 18], С. Климек [26]), а также в аналитической теории чисел в работах X. Фаркаша, И. Кра [20] и в теории пространств Тейхмюллера в работах Л.В. Альфорса, J1. Берса [1], C.JI. Крушкаля [7] и К. Эрла [19].
В работах Ф. Прима, Г. Роста [30], Р. Ганнинга [22], X. Фаркаша, И. Кра [20], В.В. Чуешева [12; 13], М.И. Головиной [3] начато построение основ теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности для произвольных характеров. Отметим, что классическая теория абелевых дифференциалов и дифференциалов Прима строилась только на фиксированной компактной римановой поверхности.
' В диссертационной работе A.A. Казанцевой построены основы теории дифференциалов Прима на переменной конечной римановой поверхности и с переменными характерами. Причем используются новые средства геометрической теории функций: пространства Тейхмюллера, группы характеров, векторные расслоения из дифференциалов Прима над пространством Тейхмюллера, универсальное многообразие Якоби, расслоения целых дивизоров с голоморфными сечениями над пространством Тейхмюллера, сложная техника работы с классами дивизоров на римановой поверхности и матричные аналоги тэта-рядов Пуанкаре.
В работе также дано построение теории однозначных мероморфных функций и абелевых дифференциалов положительных порядков на римановой поверхности с конечным числом проколов, что является важ-

ной составной частью задачи о построении теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима на римановых поверхностях F1 типа (д,п),д > 2, п > 1. В сравнении с компактным случаем [9; 20], получаем следующие различия: 1) Комплексное векторное пространство голоморфных дифференциалов на компактной римановой поверхности F конечномерно, а на поверхности F' (с проколами) бесконечномерно; 2) На поверхности F нет непостоянных голоморфных функций, а на F1 существуют непостоянные голоморфные функции; 3) На компактной римановой поверхности F мероморфные функции и дифференциалы имеют конечное число нулей и полюсов, а в нашем случае возможно счетное число нулей и полюсов.
Известно, что для построения теории однозначных дифференциалов большую роль играют, так называемые, элементарные дифференциалы положительных порядков [20], которые имеют минимальное количество полюсов: либо один полюс порядка > 2, либо два простых полюса, и голоморфно зависящие от модулей [ц] компактных римановых поверхностей Ffl. В данной работе дано полное конструктивное описание дивизоров элементарных, как абелевых дифференциалов, так и дифференциалов Прима всех родов. В классических работах не ставился вопрос о том, как далее известные элементарные абелевы дифференциалы Tgm tpq [9; 20] зависят от модулей компактной римановой поверхности. В работе A.A. Казанцевой впервые доказана голоморфная зависимость от модулей [ц] для римановой поверхности F' типа (д,п).
Метод дивизоров и применение многообразий Якоби для переменной поверхности [19; 20] позволяют дать методы для развития теории, как мультипликативных дифференциалов, так и однозначных дифференциалов. Векторные расслоения были изучены в работах Н. Стинрода [10],

Рассмотрим однозначный абелев дифференциал cj(z)dz = yfrdz тре-

тьего рода на F'и с простыми полюсами Рг,.... Rm, Qi,Qs, P,..., Pn и вычетами ац,am, —fîi,..., — /?», k,..., kn соответственно. Тогда
m s n g
u{z)dz = ajTRjPo - PjTQjPo + 53 kjTPjPo + 53 2iricjCj, (4) 1=i 1=i j=i j=i
где Cj 6 C,j = и Po не принадлежит suppD [13; 20]. Отсюда

/(P) = exp f w(z)dz на Fp.

Пусть мультипликативная функция / G Мг(р) на F* типа (д,п),п > 1, т. е. она имеет аналитическое продолжение / на Рм, у которого в проколах Pi,..., Р(,1 < I < п, будут с.о.т. Предположим, что в окрестности U(Pj) функция /(P) ~ eq^ki>(p kj(Pj) = oo,qj - некоторые многочлены от kj, j — I,...,I, а в проколах P;+i,...,Pn возможны либо полюса, либо нули порядков г;+1,..., гп соответственно. Положим д(Р) = Хр~ 3?(Р) на Fp, где Хдь...,рг(Р) будет /-точечная функция Бейкера-Ахиезера на Рд с теми же асимптотиками в точках Pi,...,P/, как у функции / [4]. Она будет мультипликативной функцией класса АД (р), и её мероморф-
ное продолжение g имеет дивизор Z7“l
® = ° = ФТ1 ' € Z, j = ( + 1, ...,п,
m s п
на Р^. Тогда 0 = deg D = ai~52 /®1+ 52 Г1■ Дифференциал co(z)dz =
j= j-1 1=1+
j^jdz будет абелевым дифференциалом третьего рода с простыми полюсами Pi, ..., Pm, Ql, ..., Qs) Pl + lj Рщ И
ms n g
u(z)dz = 53 - 53 fijTQ]Po + 53 r>TFp°+53 27г?ф0> (5)
i=i 1=1 i=i+i 1=
где Cj G C, j = 1, ...jg1. Таким образом доказана.
Теорема 1.5.1. Мультипликативная функция / на Р^ типа (д,п), g > 2, гг > 1, Фи любого характера р, с условием р(r)p) = 1, j = 1, ...,п, имеет следующее представление: