Воспроизводящие ядра, преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах голоморфных функций

• Автор: Антоненкова, Ольга Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Брянск
• Количество страниц: 135 с.

ГЛАВА I. Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов и проекторы
в весовых пространствах голоморфных в шаре функций
§1 Л. Формулировка и доказательство вспомогательных утверждений
§1.2. Ограниченные проекторы в весовых пространствах голоморфных
в шаре функций со смешанной нормой
§1.3. Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов
в пространствах Ар,(1{со) при 1 < /?,# <+со
§ 1.4. Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов
в пространствах Ар,д(со) при 0<тт{/?
ГЛАВА II. Теплицевы операторы в весовых анизотропных
пространствах голоморфных в шаре функций
§2.1. Теплицевы операторы в пространствах Ар,<1(а)
§2.2. О теплицевых операторах в пространствах Харди-Соболева
§2.3. Приложение теплицевых операторов к решению проблемы Глисона
в некоторых пространствах голоморфных в шаре функций
ГЛАВА III. Ограниченные проекторы и линейные непрерывные функционалы в весовых анизотропных пространствах
голоморфных в поликруге функций
§3.1. Об ограниченности некоторых интегральных операторов в весовых
пространствах типа Бергмана
§3.2. Линейные непрерывные функционалы в весовых пространствах аналитических в поликруге функций
со смешанной нормой
ЛИТЕРАТУРА
Актуальность темы. Хорошо известно, что пространства Харди и Бергмана занимают особое место в общей теории функциональных пространств. Методы, разработанные при исследовании этих пространств, нашли существенное применение в современной теории функций и функциональном анализе. Они оказались очень важными как при исследовании свойств рядов и интегралов Фурье, так и в других разделах гармонического и комплексного анализа. Поэтому представляется актуальным исследование свойств многомерных пространств типа Харди и Бергмана. Актуальность данной тематики подтверждается и тем, что в последние годы, как в нашей стране, так и за рубежом публикуется много научных статей в этом направлении. Кроме того, в последнее время было издано несколько монографий по теории пространств Бергмана, операторов Теплица и функциональным пространствам аналитических функций.
Цель работы. 1) Построить линейный ограниченный проектор из весовых анизотропных пространств измеримых в шаре функций на соответствующее пространство голоморфных функций, а также из весовых пространств п-гармонических в шаре функций на пространство аналитических функций.
2) Описать преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в весовых анизотропных пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой.
3) Дать характеризацию тех символов, при которых оператор Теплица с соответствующим символом действует в пространствах Харди-Соболева и в весовых пространствах голоморфных в шаре функций.
4) Решить задачу Глисона в пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой.
5) Построить линейный ограниченный проектор и получить описание сопряженных пространств к весовым анизотропным пространствам голоморфных в поликруге функций.
Методы исследования. В работе применялись общие методы комплексного и функционального анализа, теории сингулярных интегральных операторов. Важную роль играют интегральные представления исследуемых классов.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
- построен линейный ограниченный проектор из весовых анизотропных пространств измеримых в шаре функций на соответствующее пространство голоморфных функций, а также из весовых пространств «-гармонических в шаре функций на пространство аналитических функций;
- получено полное описание преобразования Коши линейных непрерывных функционалов в весовых анизотропных пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой;
- описаны те символы, при которых теплицев оператор действует в пространствах Харди-Соболева и в весовых пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой;
- решена проблема Глисона в исследуемых пространствах голоморфных в шаре функций.
- построен линейный ограниченный проектор из весовых пространств измеримых в поликруге функций на соответствующее пространство голоморфных функций и на этой основе получено описание линейных непрерывных функционалов в изучаемых пространствах.
Теоретическая значимость. В диссертации исследуются весовые анизотропные пространства голоморфных в шаре и в поликруге функций со смешанной нормой, изучается поведения теплицевых операторов в анизотропных пространствах голоморфных в шаре функций, решается проблема Глисона в рассматриваемых пространствах. Впервые охарактеризовано преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в классических весовых пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой типа пространств Бергмана.
Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты могут быть применены в многомерном гармоническом анализе, в теории операторов,

Используя функцию Ху{С)-> 0 с у с (і - Ду)-тіґк—,—-—; и, применяя нераІР ч-р)
венство Гельдера с показателем
Ч I
Р) ч-р
Аа іилР^{(о) ~
-, будем иметь
<с,

1 1 (!_г)«р+(»+іХр-О
Н-рУ—1' 7—
°(1 -грІа*п
Л и(г£)рсі(г(С)

$п

(_г)ар+{п+ХУр^хГР{г)
(1_гр)(«+«+0р-«
Ч Р
г2п-'с1г
г2п~Хс1гх
р2п~Хсір
<с

1 — 1 Л ар+(п+)(р-) (
$<Ж-ркгМ! 5— |и(/-гГ('>МС)

г2п~Х с1гр2п~Х сір
Поменяем порядок интегрирования и оценим внутренний интеграл:
хїіг)
Л и{гС)ре1<т(С)
$п
^-р)Ху {р)р1п 'Лр 2п-
(1-гр)(а+п+Х)Р-п
гАП~'с1г