Моделирование и алгоритмы исследования бифуркационных явлений в негладких динамических системах

• Автор: Халилова, Мохчехра Шавкатовна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 115 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Моделирование и явление бифуркаций в динамических системах
1.1 Динамические системы: вспомогательные сведения
1.1.1 О динамической системе
1.1.2 Гладкие динамические системы
1.1.3 Компьютерное описание(дискретность) динамических
систем
1.2 Бифуркационные задачи: постановка, история вопроса, примеры
1.2.1 Бифуркации в различных (линейных.нелинепных)системах
1.2.2 Стационарный эффект бифуркационных решений
1.2.3 Бифуркация периодических решений Андропова
Хопфа
1.2.4 Сведение об основных бифуркационных теоремах
1.2.5 Дополнительная информация о собственных значениях и собственных векторах матриц
1.3 Приближенное исследование задачи о бифуркации
1.3.1 Чиеленное(ириближенное) исследование бифуркации
стационарных решений
1.3.2 Чиолеішое(приближеішое) исследование бифуркации
Андронова — Хопфа
1.3.3 Негладкие динамические системы
2 Исследование бифуркаций негладких динамических системах
2.1 Динамические системы с негладкими нелине.йностями
2.2 Моделирование бифуркационных явлений в негладких динамических систем

2.2.1 Математическое описание задачи
2.3 Модели фазовых переходов в физике
2.4 Негладкость двумерных систем с малым возмущением
2.4.1 Негладкость двумерных систем с параметром под модулем
2.4.2 Пример: груз на транспортере
2.5 Исследование устойчивости состояния равновесия нсгладко-
сти динамических систем
2.5.1 Бифуркации в разрывных системах
2.6 Бифуркационные явления со слабоосциллирующими параметрами негладких систем
2.6.] С) бифуркационном поведении решений при слабой
осциляции параметров
2.6.2 Негладкие бифуркации
2.7 Доказательства основных утверждений
2.7.1 Доказательство теоремы 2.7-2.8
2.7.2 Доказательство теоремы 2.9
2.7.3 Доказательство теоремы
2.7.4 Доказательство Леммы
2.7.5 Доказательство теоремы
2.7.6 Доказательство теоремы
2.7.7 Доказательство теоремы 2
3 Приложение
3.1 Метод Рунге - Кутта
3.2 Алгоритмы и пакет программ
3.2.1 Операторное описание алгоритма
Литература

Введение
Актуальность темы. Модели с негладкими эффектами имеют важное значение в различных областях науки: в физике и механике (теория фазовых переходов, электричество, магнетизм), в инженерных задачах, в задачах теории управления, в экономике, биологии и др. Модели негладких систем включают в себя дифференциальные уравнения с негладкими, релейными, гистерезисными нелинейностями. Примерами являются динамические модели с сухим трением, модели с перескоками, модели с релейными нелинейностями, возникающие при изучении систем автоматического регулирования температур, напряжения и др.
Многочисленные приложения стимулировали развитие теории дифференциальных уравнений с негладкими и разрывными правыми частями5. Широкое использование различных переключателей (реле) в системах автоматического управления привело к необходимости построения теории уравнений с релейными нелинейностями. Различным вопросам этой теории посвящены отдельные параграфы в работах многих авторов6,',8.
Одной из наиболее интересных и в то же время важной с теоретической и практической точек зрения при изучении динамических моделей является задача о качественном изменении фазового портрета системы при изменении ее параметров в окрестности критических значений. Основным математическим аппаратом, используемым при изучении таких задач, являются теория бифуркаций и теория ветвления решений нелинейных уравнений. У истоков этих теорий были такие ученые как А.М.Ляпунов,
A.Пуанкаре, А.А.Андронов, Л.С.Понтрягин. Существенный вклад в развитие современной теории бифуркаций и теории ветвлений внесли
B.И.Арнольд, В.В.Вайнберг, Н.К.Гаврилов, Дж.Гукенхеймер, Д.Джосеф, Ю.С.Иляшснко, Ж.Йосс, Ю.А.Кузнецов, М.Мак-Краксн, Дж.Марри,
Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнение с разрывной частью.
Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнении. - Ижевск: Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика". 2000. 308 с.
*'di Bernardo iVL.Budd О.. Cliarnpneys A.Id.. Kowalczyk P..Nordmark A.B.. Olivar Tost. G.. Piirioncn P.T. Bifurcations in nonsmooth dynamical system. SIAM Rev., 200S. vol. 50. 4 pp.620 - 671.
аЦыпкии >1.3. Релейные автоматические системы. М. Наука. 1974, 576 с.

Все последующие построения могут быть проведены и для более общих видов многообразий. Предполагаем, что правая часть системы либо представима в виде
(х,А) = { Х,Ь,° > (2.2.4)
2(ж,А), (х,60) < 0.
где и А являются гладкими в окрестности х = 0, либо определяются только при (х,Ьо) > О ИЛИ при (Х,Ьо) < 0.
Следует отметить, что бифуркация стационарных решений в основном происходит, как и в гладком случае, только требуется, чтобы векторы не лежали в гиперплоскости.
В работе (см. [5-5]) исследовано зависящее от скалярного параметра А уравнение Льеиара вида
х" + а(Х)х' + аг(А)х = А), (2.2.5)
правая часть которого представима в виде

/(ж, у; А) = Ь1(Х)ф(х:Х)у + Ь2(Х) I'ф{р:,)с1р. (2.2.6)

Предполагается, что коэффициенты аА), аг(А), Ь](А), 6г(А) непрерывны но X, а функция ф(х, А) непрерывна но совокупности аргументов, при этом ф(0;Х) = 0. уравнение (2.2.5) содержит, как частный случай, уравнения Вап -дв}>-Поля и Рэлея. Оно при всех значениях X имеет нулевое решение. При изменентш параметра X у уравнения (2.2.5) могут возникать малые по амплитуде ненулевые периодические решения. В математической постановке такому явлению отвечает бифуркация Андронова-Хопфа, исследованию которой была посвящена значительная часть второй главы.
Ниже изучаются вопросы приближенного исследования задачи о бифуркации Андронова-Хопфа для уравнения (2.2.5).Прсдлогастся рассматривать уравнение (2.2.5) как математическое описание динамической системы, состоящей из совокупности линейных элементов и нелинейных преобразователей направленного действия. Такой подход позволяет при изучении периодической задачи для уравнения (2.2.5) привлечь аппарат системных характеристик: передаточные и весовые функции, частотные и импульсно - частотные характеристики и т.п.