Метод базисных операторов построения дискретных моделей сплошной среды

• Автор: Коробицын, Владимир Анатольевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 299 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД
§ 1Л. Сводка результатов из тензорной алгебры
1Л Л. Криволинейные координаты
1Л .2. Компоненты вектора и тензора
§ 1.2. Некоторые сведения из тензорного анализа
1.2.1. Метрический тензор
1.2.2. Ковариантное дифференцирование
1.2.3. Дифференциальные операторы
1.2.4. Интегральные операции
1.2.5. Ортогональные координаты
1.2.6. Дифференциальные операторы в ортогональных системах
§ 1.3. Модели механики сплошной среды
1.3.1. Законы сохранения
1.3.2. Уравнения гидродинамики несжимаемой жидкости
1.3.3.Потенциальная модель несжимаемой жидкости
1.3.4. Уравнения механики сплошной среды в криволинейных
системах координат
§ 1.4. Основные понятия теории разностных схем
1.4.1. Дискретизация. Сетка. Шаблон
1.4.2. Сеточные функции
1.4.3. Аппроксимация и устойчивость
ГЛАВА 2. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ
СИСТЕМАХ КООРДИНАТ
§ 2.1. Разностные операторы векторного и тензорного анализа
2.1.1. Разностные операторы

2.1.2. Критерий согласованности разностных операторов
2.1.3. Построение операторов Vn;,VИI
2.1.4. Построение операторов
2.1.5. Граничные условия
2.1.6. Инвариантность операторов
§ 2.2. Трехмерные операторы
§ 2.3. Квадратурно- аппроксимационный алгоритм построения
дифференциально-разностных схем
2.3.1. Основание алгоритма
2.3.2.Алгоритм построения полностью консервативных схем... 81 § 2.4. Разностные схемы в переменных Лагранжа
2.4.1. Дифференциально - разностная схема
2.4.2. Класс разностных схем с полным набором законов сохранения
§ 2.5. Численные расчеты течений несжимаемой жидкости
2.5.1. Сетка и операторы
2.5.2. Разностная схема
2.5.3. Аппроксимация вектора внешних массовых сил
2.5.4. Устойчивость схемы
2.5.5. Реализация граничных условий
2.5.6. Линейный анализ разностной схемы
§ 2.6. Численные расчеты двумерных течений
§ 2.7. Численное моделирование трехмерных течений
2.7.1. Разностная схема
2.7.2. Граничные условия
2.7.3. Комплекс программ ТОРЗ
§ 2.8.Термодинамически согласованные разностные схемы

ГЛАВА 3. ИНВАРИАНТНЫЕ ВАРИАЦИОННО - РАЗНОСТНЫЕ
СХЕМЫ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
§ 3.1. Инвариантные двумерные дискретные модели
3.1.1. Вариация функционала дискретной системы
3.1.2. Тождество Нетер
3.1.3. Теорема Нетер
3.1.4. Обобщение теоремы Нетер
3.1.5.Дифференциально-разностные уравнения гидродинамики
ГЛАВА 4. МЕТОД БАЗИСНЫХ ОПЕРАТОРОВ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
КООРДИНАТ
§ 4.1.Разностные операторы в криволинейной ортогональной системе
координат. Случай плоской симметрии
4.1.1. Дифференциальные операторы
4.1.2. Разностные операторы
4.1.3. Некоторые соотношения
4.1.4. Согласованность разностных операторов
4.1.5. Дифференциально-разностная схема гидродинамики
4.1.6. Операторы в полярной системе координат
§ 4.2. Формулы для базисных операторов
§ 4.3. Осесимметричные разностные операторы в ортогональной
системе координат
4.3.1. Дифференциальные операторы
4.3.2. Разностные операторы
4.3.3. Дифференциально-разностная схема гидродинамики
4.3.4. Операторы в цилиндрической системе координат
§ 4.4. Полностью консервативные осесимметричные разностные
схемы в криволинейных ортогональных системах координат

du/dq1 = RaV;«“, du/dqJ = Ra V,ua.
Аналогичные формулы справедливы для тензоров. Запишем их для тензоров второго ранга
Wjj =dTJ jdqk +С'ТЩ +GJakTm, v*7; =dTjdqk-G“Taj-G*Tla, vtr; =эг;/а9* + -G“r;,
J =дТ/ /dqk + GJakT: “ — G*kTaJ.
Ковариантные производные основных и взаимных координатных векторов равны нулю, также как и ковариантные производные компонент метрического тензора.
1.2.3 Дифференциальные операторы.
Ковариантные производные скаляра являются ковариантными компонентами вектора, который называют градиентом скаляра и обозначают Vp = Ra dp/dqa . В тензорном анализе применяется оператор "набла": V = R“Va. С его помощью дифференциальные операции над скалярами, векторами и тензорами записываются в компактном виде. Операция градиент имеет вид
grad p = Vp = Ra dpldqa =R“Va/?, gradu = Vu = R“RpVaHp.
Определим операцию дивергенции вектора в виде divu = V-u = Vaua =g5(dgosua/dqa),
Операция ротор вектора определяется соотношением го/и = шраЭ“Ру/г?,