Разработка численно-аналитических методов решения задач гидродинамики и теплообмена на основе параболических и гиперболических уравнений

• Автор: Еремин, Антон Владимирович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 187 с. : ил.

Содержание
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
1. ОБЗОР РАБОТ В ОБЛАСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕПЛООБМЕНА
2. ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
2Л.Основные положения метода и его теоретическое обоснование
2.2.Теплообмен при ламинарном течении жидкости
в круглой трубе (задача Гретца-Нуссельта)
2.3.Получение приближенного аналитического решения квазистатической задачи термоупругости
3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛООБМЕНА НА ОСНОВЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФРОНТА ТЕМПЕРАТУРНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
3Л.Охлаждение пластины с внутренними источниками
теплоты при граничных условиях третьего рода
3.2.Нестационарный теплообмен в круглой трубе при ламинарном течении жидкости (задача Гретца-Нуссельта)
3.3.Теплообмен в плоском канале при граничных
условиях третьего рода (задача Куэтта)
3.4.Получение аналитического решения задачи
Стефана с абляцией для полубесконечной области
3.5.Аналитическое решение задачи Стефана для пластины при граничных условиях первого рода на неподвижной стенке
4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ В ТРУБАХ ИКАНАЛАХ
4.1 .Исследование распределения скорости течения
жидкости в условиях гидравлического удара
4.2.Исследование распределения давления в движущейся жидкости в условиях гидравлического удара
5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМПЬЮТЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ ТРУБОПРОВОДНЫХ СИСТЕМ
5.1 .Исследование гидравлических режимов работы циркуляционных систем ТЭЦ на компьютерных моделях
5.2.Исследование гидравлических режимов работы циркуляционной системы Тольяттинской ТЭЦ
на компьютерных моделях
6. КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛООБМЕНА
6.1 .Реализация метода решения краевой задачи Штурма-Лиувилля на основе совместногоиспользования методов
Л.В. Канторовича и Бубнова-Галеркина
6.2.Реализация метода решения задач теплообмена на основе
использования дополнительных граничных условий
ВЫВОДЫ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ПРИЛОЖЕНИЯ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. Теоретическое описание и решение проблем гидродинамики и теплообмена в движущихся и неподвижных средах является одним из важнейших направлений современной науки и техники. Для решения этих проблем необходимо объединение комплекса знаний из гидромеханики и термодинамики, молекулярной и статистической физики, теории переноса теплоты и массы вещества в различных средах. Решение указанных проблем существенно осложняется необходимостью совместного рассмотрения процессов гидродинамики и теплообмена.
Нестационарный перенос теплоты и массы описывается уравнениями параболического типа. Для их решения используются такие точные аналитические методы как методы разделения переменных Фурье, тепловых потенциалов (функций Грина), интегральных преобразований и др. При их практическом использовании возникают известные трудности: полученные решения, как правило, выражаются сложными функциональными зависимостями, в ряде случаев содержащими специальные функции. Особые трудности представляют нелинейные задачи, задачи с переменными по координатам физическими свойствами среды (включая многослойные конструкции), а также переменными во времени граничными условиями и источниками теплоты. Для решения большей части указанных задач точные аналитические методы практически неприменимы.
В связи с этим, проблема разработки приближенных численноаналитических методов их решения является одной из наиболее актуальных проблем современной математической физики. Эффективному решению именно этой проблемы и посвящена настоящая работа. В частности, применительно к решению краевых задач развивается эффективный гибридный приближенный численно-аналитический метод, основанный на совместном использовании точных (Фурье, интегральных преобразований и др.) и приближенных (ортогональные методы Л.В. Канторовича, Бубнова-Галеркина и др.) аналитических методов в сочетании с дополнительными граничными условиями.
В ряде случаев сочетание этих двух важнейших направлений прикладной математики позволяет получать не только приближенные, но и точные аналитические решения. В настоящей работе такие решения получены для гиперболических уравнений, описывающих гидравлический удар в трубопроводах.
Цель диссертационной работы состоит в разработке численноаналитических методов в задачах математического моделирования процессов теплопроводности в твердых телах, а также теплообмена и гидродинамики в движущихся жидкостях, описываемых параболическими и гиперболическими дифференциальными уравнениями.

Для определения неизвестной функции 9|(Ро) найдем интеграл взвешенной невязки уравнения (3.15) в пределах от р = 0 до р = <7,(Ро), т.е.
320(р,Ро)
Г^Ро) г
^ аро •>

ф. (3.21)
Подставляя (3.20) в (3.21), находим
qxq\Л-вШqx + РоРо (4 + В1д,)] + {сЦ -6Ро)(2 + Вп7,)Ро + 6В1д, =0. (3.22) Соотношение (3.22) относительно неизвестной функции <д(Ро) представляет нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, получение точного аналитического решения которого с помощью известных методов затруднительно. Используя метод, изложенный в [45], находим следующее приближенное аналитическое решение уравнения (3.22) при начальном условии #,(0) = 0, положив В1 = 1 ООО; Ро=
«7,(Ро) = 1,9327Ро0-3654. (3.23)
Полагая ^,(ро) = 1, из (3.23) находим время достижения подвижной
границей координаты р = 1, которое будет Ро = Ро* = 0,16472..
Соотношения (3.20), (3.23) представляют решение задачи (3.15) - (3.18) в первом приближении (при В1 = 1 ООО; Ро = 10).
Повышение точности решения связано с повышением числа членов ряда (3.19), для определения неизвестных коэффициентов которого необходимо применять дополнительные граничные условия. Используя методы их нахождения, изложенные в [45], для получения решения задачи (3.15)-(3.18) во втором приближении находим следующие дополнительные граничные условия
- Э^е(° Го). (3 24)

д2®(д1,¥о)/др2 =0; (3.25) 330(?1,Ро)/ф3 =0. (3.26)
Физический смысл дополнительных граничных условий состоит в выполнении дифференциального уравнения (3.15) и производных от него различного порядка в граничной точке р = 0 и на подвижной границе р = ^(Го).
Основные (3.16)-(3.18) и дополнительные (3.24) - (3.26) граничные условия позволяют определить уже шесть неизвестных коэффициентов ак(я 1) соотношения (3.19). Подставляя (3.19) (ограничиваясь шестью членами ряда) в (3.16)-(3.18), (3.24) - (3.26), относительно коэффициентов ак(дх)(к = 0,5) получаем цепочную систему шести алгебраических линейных уравнений, из решения которой находим
а0 =(120П + ВЮхдх)/ А; а, = В1(120£> + ВЮ{дх)1 А
аг = В1(б0£> + Ро<2,12(5 + 2<71))/ Ах; аъ =В1(2(Ю-Род1(ЗВщ, +10))/А1;
а4 =В1(б(Ш + д1(40В1-15Ро£7, -4В1Род,12 +40В1РоРо))/Л2;

8М0То) + Ро