Моделирование фрактальных структур в задачах многомерной классификации

• Автор: Бирючинская, Татьяна Яковлевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 147 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1 Методы многомерной классификации и фрактального анализа в типологических задачах
1.1 Понятие многомерной классификации. Общая постановка задачи..
1.2 Алгоритмы построения классификационных разбиений
1.3 Фрактальные структуры в классификационных задачах
2 Построение фрактальных множеств рандомизированными системами итерированных функций
2.1 Системы итерированных функций и их численные реализации
2.2 Основные свойства генерируемых множеств
2.2.1 О мощности генерируемых множеств
2.2.2 Разрешимость полученных множеств
2.2.3 О совершенстве фрактальных множеств
2.2.4 Исследование сходимости процедур РСИФ
2.3 Оценка параметров рандомизированных систем итерированных функций
2.3.1 Оценивание параметра ц по методу моментов
2.3.2 Оценивание множества точек протофрактала
3 Приложения фрактальной теории в решении классификационных задач
3.1 Оценка фрактального характера типологии стран мировой экономической системы
3.2 Использование фрактальных подходов в построении районированной выборки
Заключение
Список литера гуры
Приложения

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы.
В настоящее время теория фракталов является одной из наиболее актуальных и стремительно развивающихся теорий, которые находят самое широкое применение в различных областях деятельности человека. Использование фрактальных моделей позволило значительно продвинуться в решении различных практически значимых задач как обработка цифровой информации, изучение вопросов турбулентного движения жидкостей, исследовании финансовых рынков, получении новых наноматериалов с заданными свойствами, в радиолокации и пр. Значительный вклад в развитие фрактальной теории был внесен такими зарубежными учеными; как Mandelbrot В., Barnsley M.F., Crownover R.M., Devaney R.L., Falconer К., Schroeder М. и др. В России этими проблемами занимались С.В. Божокин, А.Д. Морозов, В.Г1. Паршин, А.А. Потапов, Б.М. Смирнов и другие.
Интенсивное развитие теории фракталов не только выдвигает новые вопросы, но и позволяет искать подходы к задачам, ранее сформулированных, но не получивших до настоящего времени удовлетворительных решений. Одной из таких задач является классификационная задача. Изучению проблем, связанных с этой задачей, были посвящены работы С.А. Айвазяна, В.М. Буш-табера, А.А. Дорофеюка, Ю.И. Журавлёва, Н.Г. Загоруйко, И.И. Елисеевой, А.И. Орлова и др. Важность классификационной задачи обусловлена как широким спектром её практических приложений, так и той ролью, которую играет эта задача в теориях распознавания образов и искусственного интеллекта. Предлагаемый в диссертационной работе подход к решению указанной выше задачи основывается на современных представлениях фрактальной теории и вместе с тем в значительной степени учитывает уже накопленный опыт и полученные ранее результаты.
В связи с этим тема диссертационной работы, посвященная моделированию решений классификационной задачи в рамках фрактальной теории, является актуальной.
Диссертационная работа выполнена в соответствии с перспективным планом научно-исследовательских работ ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный аграрный университет имени императора Петра I» по теме ««Построение и численная реализация новых математических моделей технологических и производственных процессов в АПК», номер государственной регистрации 01.200.1003987.
Целью работы является разработка и исследование процедуры генерирования фрактальных данных, позволяющих аппроксимировать эмпирические структуры многомерных данных в классификационных задачах.
Для достижения поставленной цели сформулированы следующие задачи:
1) анализ современных алгоритмов кластерного анализа с целью исследования возможностей применения теории фрактальных множеств в задачах классификации;
2) разработка алгоритма моделирования многомерных фрактальных структур на основе численного метода построения фрактальных множеств, оценка характеристик РСИФ-алгоритма, а также свойств множеств, порождаемых предложенным алгоритмом;
3) разработка программного комплекса средствами языка программирования статистической обработки данных II для проведения вычислительного эксперимента и исследования структур многомерных данных на основе фрактальных моделей, полученных с использованием предложенных алгоритмов;
4) тестирование разработанного программного обеспечения при решении содержательных прикладных задач.
Объект исследования - фрактальные структуры многомерных данных, полученные с помощью кластерного анализа и применения алгоритмов, в основе которых лежит фрактальный подход.
Предмет исследования - процедура, основу которой составляют рандомизированные системы итерированных функций (РСИФ), позволяющая при решении классификационных задач воспроизводить структурные особенности многомерных данных.

Вторым свойством фракталов является то, что фрактальные объекты имеют размерность, отличную от евклидовой, иначе говоря от топологической размерности.
Фракталы обладают нерегулярностью. Данное свойство хорошо демонстрируют инструменты финансового рынка, например, такие как, динамика котировок различных акций. Цены на рынке изменчивы и имеют достаточно большие колебания, также они не позволяют себя описать геометрическим языком.
В настоящее время окончательное определение фрактала не сформулировано, так как изучение и развитие данной теории продолжается. Более строгое определение этого термина будет дано ниже во второй главе. Мы лишь отметим, что на данном этапе нашей работы будет вполне достаточно рассмотрения фрактальных объектов, представленных совокупностью точек, обладающей некоторыми свойствами, основными из которых являются дробная (фрактальная) размерность множества, меньшая, чем размерность признакового пространства, и наличие свойства самоподобия.
Теорию фракталов условно разделяют на две части: геометрические фракталы (детерминированные) и стохастические (странные фракталы).
Геометрические фракталы возникают за счет бесконечного повторения одной и той же операции, над заданным элементом формируя самоподобный объект. Как правило, фракталы, полученные при выполнении итеративных алгоритмов, являются статическими фигурами.
Геометрические фракталы удобно представлять в пространстве двух измерений. Фракталы этого класса обладают наглядностью и простотой построения. Так как этот тип получается путем простых построений, то их легко исследовать, используя геометрические подходы.
К их числу относятся такие известные конструкции, как канторово множество (1883) (рис. 1.2) или, например, заметающая целый квадрат кривая Гильберта-Пеано (1890) (рис. 1.4), кривая Коха (1904) (рис. 1.3), множества Серпинского (1916), множества Жюлиа(1918).