Конструирование решений в задачах динамики систем на конечном промежутке времени

• Автор: Зимовец, Артем Анатольевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 149 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Свойства слабой инвариантности и инвариантности множеств относительно дифференциального включения
1.1 Слабо инвариантные и инвариантные множества относительно
дифференциального включения
1.2 Дефект слабой инвариантности множества относительно дифференциального включения
1.3 Дефект инвариантности множества относительно дифференциального включения
1.4 Примеры
1.4.1 Пример расчета дефекта слабой инвариантности
1.4.2 Пример расчета дефекта инвариантности
2 Построение множеств достижимости управляемых систем
2.1 Сеточный метод построения множеств достижимости
2.2 Операция овыпукления в сеточном методе построения множеств
достижимости
2.3 Метод приграничного слоя
2.4 Оптимизированный метод приграничного слоя
2.5 Структуры данных для представления сеточных множеств
2.5.1 Представление сеточных множеств с использованием множества граничных точек
2.5.2 Представление сеточных множеств с использованием многоуровневой битовой карты

2.6 Алгоритмы работы с сеточными множествами
2.6.1 Алгоритм построения симплициального комплекса с вершинами в точках сеточного множества
2.6.2 Алгоритмы аппроксимации симплексов точками сеточного множества
2.6.3 Алгоритм приближенного построения выпуклой оболочки
2.6.4 Алгоритмы вычисления расстояний между сеточными множествами
2.7 Примеры
2.7.1 Задача построения множества достижимости управляемой системы на плоскости
2.7.2 Задача остановки вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки
Зак лю чение
Список цитированной литературы

Введение
Актуальность темы исследования
В диссертации изучаются вопросы, связанные с моделированием поведения динамических систем, представимых в виде системы дифференциальных уравнений с параметром, величиной которого можно управлять, или соответствующего ей дифференциального включения (д. в.). Изучение всех возможных вариантов поведения таких систем приводит нас к важным для теории и практики понятиям множества достижимости и интегральной воронки управляемой системы.
Как оказалось, задача построения множеств достижимости и интегральных воронок тесно связана с задачами о сближении управляемых систем в различных постановках, рассматриваемыми в математической теории управления. В этих задачах требуется из множества различных траекторий выделить ту, которая переводит моделируемый объект из заданного начального состояния в конечное и при этом удовлетворяет определенному критерию качества.
Современный облик математической теории управления в значительной степени определился работами выдающихся отечественных математиков JT.C. Понтрягина и H.H. Красовского. Большой вклад в развитие этой теории внесли В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, А.Б. Куржанский, A.B. Кряжим-ский, Е.Ф. Мищенко, Ю.С. Осипов, А.И. Субботин, Ф.Л. Черноусько, их сотрудники и ученики. Среди зарубежных исследователей, внесших весомый вклад в развитие теории, отметим Р. Айзекса, Р. Веллмана, Р. Калмана, Дж. Лейтмана, У. Флеминга и других.
Задача о сближении управляемой системы (или д. в.) с заданным целевым множеством в фиксированный момент времени — одна из ключевых задач в математической теории управления. С ней связаны другие важные задачи, такие, например, как задача об оптимальном быстродействии или задача о сближе-

Пусть относительно 115(ту)|| > 0 реализовалась возможность 2. В этом случае рассмотрим два варианта:
а- ИКн)!! ^ 1Нгш)||,
Ь. №тг)\ > ||з(тИ_1)||.
Пусть реализовался вариант а. Из (1.35) можно вывести оценку 21Нч)|| (||Фш)11 - 1Кн)||) < 2ПДг||з(т*)||
(1-38)
"1"2||й(Тг)|| Д,+1 е(г) (Ц + 2||5(т*)||о;(Дг) + К*А].
Из (1.38) следует оценка
1Нн+1)|| < е^||5(тг)|| + £ е(0 <Й + о;(Д,) + А
из которой в рассматриваемом случае возможности 2 следует
118(^+1)11 < еЬД;||5(тг;)|| + I £^) <Й -I- ш(Аг) + А]. (1.39)
Пусть реализовался вариант Ь. Очевидно, что в этом случае также имеет место оценка (1.39).
В результате получаем, что в случае, когда реализовалась возможность 2, величина ||з(г1+1)|| связана с величиной ||в(т-*) || > 0 неравенством (1.39).
Перейдем теперь от локальных оценок к рассмотрению всего набора 5 = {я(тг): г — О, IV} , в котором нас интересует прежде всего последний вектор з(тдг) и его норма ||з(тлг)||.
Относительно 5 предполагаются следующие возможности:
1. ||«(г;)|! > Д^ при г е О, IV;
2. ||в(т^)|| > Дг при г £ д, N. ||з(т9_1)|| < Д^ при некотором д ^ 1;
3- 1Нну)|| < Д5.
Оценим в каждом из этих вариантов величину ||з(тлг)|| сверху, воспользовавшись пошаговыми оценками (1.37), (1.39).
Итак, пусть относительно набора 5 реализовалась возможность 1. Имеем