Качественный анализ движений дискретных динамических систем

• Автор: Нгуен Динь Хуен
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 92 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ ПО НЕЛИНЕЙНОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
§ 1. Задача об устойчивости по нелинейному приближению
§ 2. Построение функций Ляпунова для нестационарных систем .
§ 3. Условия асимптотической устойчивости в критическом, в широком смысле, случае
ГЛАВА 2. АБСОЛЮТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ И АБСОЛЮТНАЯ ДИССИПАТИВНОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 1. Постановка задачи
§ 2. Достаточные условия абсолютной устойчивости для систем с
неаддитивными связями
§ 3. Абсолютная устойчивость одного класса дискретных моделей
популяцонной динамики
§ 4. Стабилизация дискретной модели популяционной динамики .
§ 5. Анализ диссипативности обобщенной вольтерровской модели
ГЛАВА 3. УСЛОВИЯ КОНВЕРГЕНЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ
§ 1. Общие условия конвергенции нелинейных систем
§ 2. Анализ конвергенции одного класса систем нелинейных разностных уравнений
§ 3. Условия конвергенции дискретной модели динамики популяций
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Разностные системы широко применяются для описания динамических систем. Они являются основным математическим аппаратом при изучении управляемых систем с дискретными регуляторами и нелинейных импульсных систем, они используются в теории нелинейных колебаний (преобразование Пуанкаре) и при численном интегрировании дифференциальных уравнений [13, 14, 16, 46].
Одно из направлений исследований, возникающих в указанных приложениях разностных уравнений, связано с анализом устойчивости их решений. Основным методом анализа устойчивости нелинейных разностных систем является прямой метод Ляпунова [26, 46, 63]. Главная трудность, возникающая при применении этого метода, заключается в проблеме нахождения функций Ляпунова. К сожалению, общих способов их построения не существует.
В исследовании устойчивости нелинейных дискретных систем существенные результаты были достигнуты в трудах А. Халанай, Д. Векслер, М. А. Скалкиной, В. И. Зубова, А. А. Мартынюка, А. И. Климушева и многих других ученых [21, 25, 30, 31,46]. В работах А. Ю. Александрова и А. П. Жабко были доказаны теоремы об устойчивости однородных разностных систем, установлены условия устойчивости по нелинейному приближению и т. д. [5, 6, 7].
Теория управления является одним из важнейших разделов современной науки. Она используется во всех процессах, допускающих внешнее воздействие со строны человека. В большинстве практических задач управления в силу присутствия возмущений, помимо обеспечения наперед заданной динамики решения системы, требуется решение задачи стабилизации программного движения. Следует заметить, что задача стабилизации тесно смыкается с общей задачей об устойчивости движения и является дальнейшим развитием проблемы устойчивости в приложении к теории управляв-
мых систем [14, 20, 28].
При исследовании различных биологических, физических, экономических и технических моделей необходимо рассматривать сложные системы разностных уравнений. Основными особенностями таких систем являются высокая размерность, большое количество параметров и существенно нелинейный характер уравнений, разнообразие системных связей [8, 15, 24, 31].
При управлении различными реальными системами в широком классе случаев требуется не только стабилизировать заданные программные режимы, но и обеспечить ограниченность движений исследуемых систем [17].
На практике часто встречаются системы, у которых из-за диссипации (рассеяния энергии) каждое движение по истечении достаточно большого промежутка времени попадает в некоторую ограниченную область и остается в ней при дальнейшем возрастании времени. Такие системы называют диссипативными [17]. Особый интерес представляет случай, когда диеси-пативность является равномерной по отношению к начальным данным решений.
При анализе диссипативности дифференциальных систем широко применяется прямой метод Ляпунова. Значимые результаты представлены в трудах Т. Йошизавы, Б. П. Демидовича, В. И. Зубова и ряда других авторов [17, 19, 44, 63]. В дальнейшем способы исследования диссипативности непрерывных систем были распространены на системы разностных уравнений. Известен дискретный аналог теоремы Т. Йошизавы о равномерной диссипативности нелинейных систем [7]. Стоит отметить, что условия равномерной диссипативности изучены только для некоторых специальных классов дискретных систем. Исследования в этом направлении представляют интерес для развития качественной теории разностных уравнений и имеют широкое практическое применение.
Одной из важных задач качественной теории дифференциальных и разностных уравнений является определение условий существования и устойчивости вынужденных почти периодических колебаний, возникающих в

ГЛАВА 2 АБСОЛЮТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ И АБСОЛЮТНАЯ ДИССИПАТИВНОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ § 1. Постановка задачи
Многие задачи теории управления приводят к исследованию систем дифференциальных уравнений, содержащих в своих правых частях нелинейные характеристики, про которые известно лишь то, что они принадлежат определенному классу допустимых функций [12,16, 26, 27, 28, 29]. Вид системы и ограничения на допустимые функции в разных задачах могут задаваться по-разному, но общей актуальной проблемой для такого рода систем является проблема нахождения условий абсолютной устойчивости. В настоящей главе рассматриваемые системы будем называть абсолютно устойчивыми, если их нулевые решения асимптотически устойчивы при любых допустимых функциях, входящих в эту систему. При этом будем иметь в виду, вообще говоря, только локальную асимптотическую устойчивость нулевых решений. В то же время отметим, что в ряде работ (см., например, [12]) в определении абсолютной устойчивости дополнительно требуется, чтобы нулевое решение являлось асимптотически устойчивым в целом.
Пусть задана система дифференциальных уравнений
Здесь рц — постоянные коэффициенты, а функции /Д-гД определены и непрерывны при |гД < Н(0 < Н ^ +сх)) и удовлетворяют условиям секторного типа: Zjfj{zj) > 0 при ф 0, j — 1 ,...,п. Далее функции

(1.1)